2-20 ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Однородные координаты предоставляют удобный и эффективный способ нанесения точек из одной системы координат в соответствующие точки альтернативной координатной системы. Бесконечная область в одной координатной системе часто преобразуется в конечную область в альтернативной системе. При некорректном выборе переноса параллельность прямых может не сохраняться. Однако точки пересечения после преобразования оказываются снова в точках пересечения. Данное свойство используется для определения однородных координат представления точек бесконечности.

Рассмотрим пару пересекающихся прямых, заданных уравнениями

,

.

Прямые пересекаются в точке с координатами , . Запишем уравнения в виде ,  и представим их в матричной форме

или

.

Если матрица  квадратная, то пересечение может быть получено путем обращения матрицы. Изменим систему исходных уравнений следующим образом:

,

,

,

или в матричной форме

,

т.е.

.

Квадратная матрица, обратная данной [2-1], имеет следующий вид:

.

Умножая обе части уравнения на  и учитывая, что  является тождественной матрицей, получим

.

Таким образом, точка пересечения опять имеет координаты , .

Рассмотрим теперь две параллельные прямые, заданные следующим образом:

,

.

По определению геометрии Евклида, точка пересечения двух параллельных прямых расположена в бесконечности. Продолжая предыдущие рассуждения, вычислим точку пересечения этих прямых, заданных в матричной форме,

.

Однако несмотря на то что матрица квадратная, она не имеет обратной, так как две ее строки тождественны. Такая матрица называется сингулярной. Возможна иная формулировка с обратимой матрицей. Получим ее, переписывая систему уравнений следующим образом:

,

,

,

или в матричной форме

.

Таблица 2-1 Однородные координаты для точки

В данном случае матрица не является сингулярной и существует обратная ей

.

Умножая обе части выражения на обратную матрицу, получаем

.

Результирующие однородные координаты  определяют точку пересечения двух параллельных прямых, т.е. точку бесконечности. В частности, они представляют данную точку в направлении  двумерного пространства. В общем виде двумерный координатный вектор  представляет точку бесконечности на прямой . Приведем несколько примеров:

       точка на положительной оси ,

     точка на отрицательной оси ,

       точка на положительной оси ,

     точка на отрицательной оси ,

        вдоль прямой  в направлении .

Вектор с однородной компонентой  действительно представляет точку бесконечности и может быть также интерпретирован как движение к пределу (табл. 2-1).

Рассмотрим прямую  и точку . Напомним, что в однородных координатах не существует единственного представления координатного вектора (табл. 2-1). Точка  представлена в однородных координатах по всем направлениям. Заметим, что в этой таблице при  отношение  остается равным , как и требуется для сохранения уравнения. Кроме этого, обратим внимание на то, что следующая пара , все точки которой располагаются на линии , быстро приближается к бесконечности. Таким образом, предел при  и есть точка бесконечности, заданная в однородных координатах как .

Обратившись снова к рис. 2-15, легко продемонстрировать геометрическую интерпретацию процесса движения к пределу при . Рассмотрим отрезок единичной длины, проходящий от точки начала координат в направлении  на плоскости  . При  проекция этой прямой обратно на физическую плоскость  в направлении лучей, проходящих через начало координат, становится бесконечной длины. Следовательно, конечная точка прямой должна представляться точкой бесконечности на оси .