6-13 В-СПЛАЙН ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

В предыдущих разделах обсуждались свойства и создание В-сплайн поверхностей по известной задающей полигональной сетке. Также представляет интерес и обратная задача: т.е. задано известное множество данных на поверхности, надо найти задающую полигональную сетку для В-сплайн поверхности, наилучшим образом интерполирующей эти данные. Так как границы поверхности, представляемой этими данными, обычно известны, то здесь будут рассматриваться только незамкнутые В-сплайн поверхности. Разработка аналогичного метода для замкнутых поверхностей с помощью периодических В-сплайн поверхностей не представляет труда. Обсуждение ограничивается топологически прямоугольными сетками, т. е. данные умозрительно могут быть представлены как находящиеся в точках пересечения прямоугольной решетки. Эта задача схематично изображена на рис. 6-49, где показана задающая полигональная сетка размера  для матрицы данных . Эта задача рассматривалась в [6-5] и в [6-26]. Для того чтобы повысить эффективность вычислений, в работе [6-26] были использованы известные свойства бикубических В-сплайн поверхностей. Применяемый нами метод более прямолинеен, но имеет меньшую вычислительную эффективность (см. разд. 5-11).

Вспомним уравнение (6-70) и заметим, что  в этом уравнении являются известными точками на поверхности. Базисные функции  и  могут быть определены для известного порядка и известного числа вершин задающей полигональной сетки в каждом параметрическом направлении при условии, что известны значения параметров ,  в исходных точках.

Рис. 6-49 Определение В-сплайн поверхности по известному набору данных.

Следовательно, для каждой известной точки поверхности уравнение (6-70) дает линейное уравнение от неизвестных вершин  задающей полигональной сетки. В результате расписывания уравнения (6-70) для исходной точки поверхности получим

,

где для топологически прямоугольного множества  данных выполняются неравенства  и . Записав уравнения такого вида для всех исходных точек, мы получим систему уравнений. В матричном виде данный результат записывается так:

,            (6-82)

где . Для топологически прямоугольных исходных данных размера  матрица  является матрицей , содержащей трехмерные координаты исходных точек,  является матрицей  трехмерных координат искомых точек полигональной сетки.

Если матрица  квадратная, то задающая полигональная сетка находится с помощью обращения матрицы, т.е.

.                    (6-83)

В этом случае получившаяся поверхность проходит через все исходные точки. Хотя эта поверхность будет везде ,  гладка, но она может быть неприемлема с точки зрения пользователя.

Рис. 6-50 Интерполяция В-сплайн поверхностью. (a) Исходные точки и интерполирующий характеристический многогранник; (b) исходные точки и сгенерированная поверхность.

Опыт показывает, что в общем случае, чем меньше точек задающей полигональной сетки, тем лучше выглядит поверхность.

Если  не квадратная, то мы имеем избыточное количество исходных данных и решение может быть получено в некотором усредненном смысле. В частности, решение может быть получено в виде

.                        (6-84)

Параметрические значения  и  для каждой исходной точки поверхности получаются с помощью аппроксимации длины хорды (см. разд. 5-11). Конкретнее, для  исходных точек значение параметра в -й точке в параметрическом направлении  равно

.

Аналогично для  исходных точек в параметрическом направлении

,

где  и  являются максимальными значениями соответствующих узловых векторов. На рис. 6-50а показаны исходные данные и задающая полигональная сетка, сгенерированная с помощью данного метода. На рис. 6-50b изображена В-сплайн поверхность, созданная по этой сетке.

Как было ранее отмечено для интерполяции с помощью В-сплайн кривой (см. разд. 5-11), ни данный, ни указанный в [6-5] методы не могут привести к появлению точек или линий складок (разрывов первой или второй производной) в получаемой поверхности.

Отметим из рис. 6-50, что вершины задающей полигональной сетки, полученные из уравнения (6-84), расположены произвольным образом в пространстве. Это неудобно, если в дальнейшем поверхность предполагается модифицировать. В работе [6-27] разработан итерационный метод, основанный на параметрических значениях , , в результате которого вершины сетки располагаются на плоскостях или вдоль кривых в трехмерном пространстве.