Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
6-7 БИЛИНЕЙНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Одной из самых простых является
билинейная поверхность. Билинейная поверхность конструируется из четырех
угловых точек единичного квадрата в параметрическом пространстве, т.е. из точек
, 
, 
и 
. Любая точка на
поверхности определяется линейной интерполяцией между противоположными
границами единичного квадрата, как это показано на рис. 6-25. Любая точка
внутри параметрического квадрата задается уравнением
. (6-41)
В
матричном виде
. (6-42)
Необходимо, чтобы интерполируемая
поверхность удовлетворяла исходным данным. В этом случае легко проверить, что
угловые точки принадлежат этой поверхности, т.е. 
и т.д.
Уравнение (6-42) задано в
обобщенном матричном представлении интерполированной поверхности, а именно -
матрица функций смешения по одной из бипараметрических переменных,
геометрическая матрица, представляющая исходные данные, и матрица функций
смешения по другой параметрической переменной.
Рис. 6-25 Билинейная интерполяция
в параметрическом пространстве.
При
изучении параметрических интерполированных поверхностей мы будем постоянно
пользоваться этим представлением.
Если координатные векторы четырех
точек, определяющих билинейную поверхность, заданы в трехмерном объектном
пространстве, то будет трехмерна и билинейная поверхность, получаемая в результате
отображения параметрического пространства в объектное. Если четыре определяющие
точки не лежат в одной плоскости, то и билинейная поверхность также не лежит ни
в какой плоскости. Действительно, в общем случае она сильно изогнута, пример
этого показан на рис. 6-26. Определяющие точки являются концами противоположных
диагоналей на противоположных гранях единичного куба. В результате получаем
гиперболический параболоид. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.
|
Пример 6-9 Билинейная поверхность
Найти точку на билинейной поверхности,
заданной точками  ,  ,  ,  , т.е. концами противоположных
диагоналей, лежащих на противоположных гранях единичного куба в объектном
пространстве. Искомая точка имеет координаты  в параметрическом пространстве.
Напомним, что поверхность в объектном
пространстве является векторной функцией:
тогда
из уравнения (6-41) имеем
 .
Рис. 6-26 Билинейная поверхность. (а)
Определяющие угловые точки; (b) поверхность.
Вся
поверхность изображена на рис. 6-26b.
|
Заметим, что каждая
изопараметрическая линия на билинейной поверхности является прямой линией. В
самом деле, эта поверхность является двулинейчатой (см. разд. 6-8).
