2-9 ПОВОРОТ

Рассмотрим треугольник  (рис. 2-4) и с помощью следующего преобразования повернем его на  против часовой стрелки относительно начала координат

.

Если использовать матрицу размером , состоящую из координат  и  вершин треугольника, то можно записать

,

что является координатами результирующего треугольника .

Рис. 2-4 Поворот.

Поворот на  относительно начала координат достигается путем следующего преобразования

,

а на  относительно начала координат - преобразованием

.

Разумеется, что матрица тождественного преобразования

соответствует повороту вокруг начала координат на  или . Обратим внимание, что в этих примерах не встречаются ни масштабирование, ни отражение.

В этих примерах осуществляется преобразование в специальных случаях поворота вокруг начала координат на углы ,, и . Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки  (рис. 2-5). Обозначим  - длину вектора, а  - угол между вектором и осью . Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол  и попадает в точку . Записав векторы положений для  и , получаем:

и

.

Используя формулу для  суммы углов, перепишем выражение для  следующим образом

.

Используя определения  и , можно переписать  как

.

Таким образом, преобразованная точка имеет координаты

, (2-27а)

  (2-27b)

или в матричном виде

.     (2-28)

Рис. 2-5 Поворот координатного вектора.

Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол  задается матрицей

.          (2-29)

Повороты являются положительными, если они осуществляются против часовой стрелки относительно точки вращения (рис. 2-5).

Определитель общей матрицы поворота имеет следующий вид:

.  (2-30)

В общем случае преобразования по матрице с детерминантом, равным 1, приводят к полному повороту.

Предположим теперь, что требуется возвратить точку  обратно в , т. е. выполнить обратное преобразование. Очевидно, что требуемый угол поворота равен . Из формулы (2-29) возьмем матрицу для выполнения необходимого преобразования

, (2-31)

так как  и . Выражение  является формальной записью обратной матрицы . Можно показать, что матрица  является обратной к , если вспомнить, что результат умножения матрицы на обратную дает единичную матрицу. В нашем случае:

,

где  - единичная матрица.

Анализ выражений (2-29) и (2-31) приводит к другому интересному и полезному результату. Вспомним, что транспонирование матрицы определяется заменой ее строк столбцами. Обозначим транспонированную матрицу  как . Сравнивая ее с , видим, что

.       (2-32)

Обратная матрица вращения является транспонированной. Поскольку формально определитель обратной матрицы вычисляется гораздо сложнее, чем определитель транспонированной, то выражение (2-32) является достаточно важным и полезным результатом. В общем случае обратной для любой матрицы преобразования полного поворота, т.е. матрицы с определителем, равным +1, является ее транспонированная матрица (такие матрицы называют ортогональными).