§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение 1. Дифференциальное уравнение порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции у и ее производных у, т. е. имеет вид

где заданные функции от или постоянные, причем для всех значений из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (1). В дальнейшем мы будем предполагать, что функции непрерывны при всех значениях причем коэффициент (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка.

Теорема 1. Если два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

то есть также решение этого уравнения.

Доказательство. Так как решения уравнения, то

Подставляя в уравнение (3) сумму и принимая во внимание тождества (4), будем иметь

т. е. есть решение уравнения.

Теорема 2. Если есть решение уравнения (3) и С — постоянная, то есть также решение уравнения (3).

Доказательство. Подставляя в уравнение (3) выражение получим

тем самым теорема доказана.

Определение 2. Два решения уравнения называются линейно независимыми на отрезке если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т. е. если

В противном случае решения называются линейно зависимыми. Иными словами, два решения называются линейно зависимыми на отрезке если существует такое постоянное число что при . В этом случае

Пример 1. Пусть имеем уравнение Легко проверить, что функции являются решениями этого уравнения. При этом функции линейно независимы на любом отрезке, так как отношение не остается постоянным при изменении Функции же линейно зависимы, так как

Определение 3. Если суть функции от , то определитель

называется определением Вронского, или вронскианом данных функций.

Теорема 3. Если функции линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.

Действительно, если , где , то

Теорема определитель Вронского составленный для решений линейного однородного уравнения (3), не равен нулю при каком-нибудь значении на отрезке где коэффициенты уравнения непрерывны, то он не обращается в нуль ни при каком значении на этом отрезке.

Доказательство. Так как два решения уравнения (3), то

Умножая члены первого равенства на члены второго равенства на и вычитая из первых вторые, получим

Разность, стоящая во второй скобке, есть определитель Вронского а именно, Разность, стоящая в первой скобке, «есть производная от определителя Вронского

Следовательно, равенство (5) принимает вид

Найдем решение последнего уравнения, удовлетворяющего начальному условию . Найдем сначала общее решение уравнения (6) в предположении, что Разделяя переменные в уравнении (6), получаем .

Интегрируя, находим

или

откуда

Заметим, что можно было написать функцию (7) и сказать, что эта функция удовлетворяет уравнению (6), в чем можно легко убедиться непосредственной подстановкой этой функции в уравнение (6). Предположение 0 не требуется.

Формула (7) называется формулой Лиувилля.

Определим С так, чтобы удовлетворялось начальное условие. Подставляя в левую и правую часть равенства (7), получаем

Следовательно, решение, удовлетворяющее начальным условиям, примет вид

По условию . Но тогда из равенства (7) следует, что ни при каком значении потому что показательная функция

не обращается в нуль ни при каком конечном значении аргумента. Теорема доказана.

Замечание 1. Если определитель Вронского равен нулю при каком-нибудь значении , то он равен также нулю при любом значении из рассматриваемого отрезка. Это непосредственно следует из формулы (7): если при то

следовательно, каково бы ни было значение верхнего предела в формуле (7).

Теорема 5. Если решения уравнения (3) линейно независимы на отрезке то определитель Вронского W, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.

Доказательство. Предварительно заметим следующее. Функция есть решение уравнения (3) на отрезке удовлетворяющее начальным условиям

где любая точка отрезка Из теоремы существования и единственности (см. § 16), которая применима к уравнению (3), следует, что не существует другого решения уравнения (3), удовлетворяющего начальным условиям

Из этой теоремы так же следует, что если решение уравнения (3) тождественно равно нулю на некотором отрезке или интервале , принадлежащем отрезку то это решение тождественно равно нулю на всем отрезке . Действительно, в точке в точке решение удовлетворяет начальным условиям

Следовательно, по теореме единственности оно равно нулю в некотором интервале где d определяется величиной коэффициентов уравнения (3). Таким образом, расширяя интервал каждый раз на величину d, где мы докажем, что на всем отрезке

Теперь приступим к доказательству теоремы 5. Допустим, что в некоторой точке отрезка Тогда по теореме 3 определитель Вронского будет равен нулю во всех точках отрезка или .

Допустим, что на отрезке . Тогда на основании последнего равенство можно написать или

Отюда следует

т. е. решения линейно зависимы, что противоречит предположению о их линейной независимости.

Допустим далее, что в точках принадлежащих отрезку . Рассмотрим интервал На этом интервале . Следовательно, на основании только что доказанного следует, что на интервале

Рассмотрим функцию . Так как суть решения уравнения (3), то решение уравнения (3) и на интервале Следовательно, на основании замечания в начале доказательства следует, что на отрезке или

на отрезке линейно зависимы.

Но это противоречит предположению о линейной независимости решений Таким образом, мы доказали, что определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной из точек отрезка Теорема 6. Если два линейно независимых решения уравнения то

где - произвольные постоянные, есть его общее решение.

Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует, что функция есть решение уравнения (3) при любых значениях .

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия можно так подобрать значения произвольных постоянных чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Подставляя начальные условия в равенство (8), будем иметь

где обозначено

Из системы (9) можно определить Q и так как определитель этой системы

есть определитель Вронского при и, следовательно, не равен 0 (в силу линейной независимости решений Частное решение, которое получится из семейства (8) при найденных значениях удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Пример 2. Уравнение коэффициенты которого непрерывны на любом отрезке, не содержащем точки допускает частные решения легко проверить подстановкой в уравнение). Следовательно, его общее решение имеет вид

Замечание 2. Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнения с постоянными коэффициентами такой метод существует. Он будет изложен в следующем параграфе. Для случая же уравнений с переменными коэффициентами в главе XVI «Ряды» будут указаны некоторые приемы, которые дадут возможность находить приближенные решения, удовлетворяющие определенным начальным условиям.

Здесь мы докажем теорему, которая позволяет находить общее решение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, если известно одно его частное решение. Так как иногда удается найти или угадать одно частное решение непосредственно, то эта теорема во многих случаях может оказаться полезной.

Теорема 7. Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то нахождение общего решения сводится к интегрированию функций.

Доказательство. Пусть есть известное частное решение уравнения Найдем другое частное решение данного уравнения так, чтобы были линейно независимы. Тогда общее решение выразится формулой где произвольные постоянные. На основании формулы (7) (см. доказательство теоремы 4) можно написать Таким образом, для определения мы получаем линейное уравнение первого порядка. Проинтегрируем его следующим образом.

Разделим все члены на или отсюда

Так как мы ищем частное решение, то, положив получаем

Очевидно, что и - линейно независимые решения, так как

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это уравнение имеет частное решение Найдем второе частное решение так, чтобы были линейно независимы.

Заметим, что в нашем случае основании формулы (10) получаем

Следовательно, общее решение имеет вид