7.2.2. Пространственная обработка при приеме сигналов в обратном канале ССПС

Пространственная режекция помех. Рассмотрим алгоритмы функционирования в обратном канале связи ССПС. Пусть задачей является формирование нули которой ориентированы на источники

помех. Комплексная огибающая реализации сигнала, искаженного аддитивной смесью помех и шума, принимаемой представляется суммой

где комплексный коэффициент передачи (7.3) канала связи между информационный сигнал (далее, просто сигнал) аддитивный гауссовский шум в канале Предположим, требуется принять сигнал первого . В этом случае сигналы остальных являются помехами.

Используя матричную форму записи, (7.27) можно представить в

где

передаточная матрица канала, размером так же как и в (7.10)

Из (7.3) и (7.11) следует, что где направляющий вектор, а направление прихода на сигнала

Если и столбцы матрицы линейно независимы, то существует обратная к матрица, определяемая процедурой псевдоинверсии Пенроуза-Мура [10]:

Умножение вектора принятой реализации (7.28) на дает

Выделить позволяет умножение слева обеих частей последнего равенства на единичный вектор

В результате,

В соответствии с общим представлением (7 9) процедуры пространственной обработки сигнала, вектор весовых коэффициентов, соответствующий

алгоритму (7.31) пространственной режекции помех определяется равенством откуда, учитывая (7.30), можно получить

Таким образом, использование вектора (7.32) для пространственной обработки сигналов в позволяет сформировать «нули» которой будут ориентированы в направлении прихода помех (рис. 7.30).

Несмотря на то, что алгоритм предоставляет возможность бороться с внутрисистемными помехами, его практическое использование сталкивается с рядом трудностей. Во-первых, число помех, которые алгоритм способен учесть, ограничено Это условие может стать неприемлемым для ССПС, применяющих множественный доступ с кодовым разделением (CDMA, Code Division Multiple Access), где в пределах соседних сот одновременно излучать сигналы могут десятки Кроме того, вычисление требует знания передаточной матрицы (7.29), оценка которой представляет отдельную задачу. Необходимо также отметить, что аннулируя воздействие помех при приеме сигнала, алгоритм, тем не менее, не гарантирует ослабление шума в каналах АР.

Избежать подобных трудностей, а также учесть совокупное влияние помех и шума при приеме сигнала позволяет алгоритм пространственной обработки, работа которого характеризуется критерием среднего квадрата ошибки

Рис. 7.30. ДН ИА, построенной на основе двенадцатиэлементпой круговой АР и использующей алгоритм ПРП

Оптимальный алгоритм линейной пространственной обработки сигналов. Критерий минимума среднего квадрата ошибки. Величина ошибки при приеме сигнала выражается разностью

Определим весовой вектор ИА, при котором достигается минимум

Используя (7.9), и, принимая во внимание зависимость величины ошибки от весового вектора, (7.33) можно представить в виде

Подстановка этого выражения в (7.34) позволяет записать критерий качества работы в виде функции от

Оптимальный по критерию СКО алгоритм функционирования должен использовать вектор весовых коэффициентов удовлетворяющий условию

Покажем, что удовлетворяет условию статистической независимости ошибки результата обработки сигнала и принимаемой реализации

где 0 - нулевой вектор.

Действительно, пусть (7.37) не выполняется и оптимальный вектор равен

где

Подстановка (7.38) в (7.36) позволяет осуществить следующие преобразования:

Принимая во внимание (7.39), последнее слагаемое в (7.40) равно нулю. Таким образом,

Из последнего выражения следует

причем равенство достигается только если 0. Отсюда,

Теперь, доказав справедливость (7.37), воспользуемся этим условием, чтобы получить выражение для Подстановка (7.36) в (7.37) приводит к тождеству

из которого следует

Вводя обозначения

для вектора взаимной корреляции принимаемой реализации и полезного сигнала, а также

для корреляционной матрицы принимаемой реализации, (7.41) можно записать в виде

Решение этого уравнения относительно дает

Как следует из (7.44), определение весового вектора для оптимального по критерию СКО алгоритма функционирования не требует знания числа источников помех. Оценка корреляционной матрицы может быть осуществлена цифровой с помощью статистического усреднения (7.43). Вектор CRS (7.42) может быть измерен во время передачи известного на сигнала (в GSM для этой цели применяется "обучающая" последовательности TDMA-кадра [1]).

Некоторые свойства оптимальной по критерию СКО пространственной обработки сигналов могут быть получены из сопоставления векторов и Для того, чтобы привести вектор к форме записи, адекватной (7.32), надо воспользоваться подстановкой (7.28) в (7.42).

Предполагая статистическую независимость сигналов и помех, нетрудно получить

В свою очередь, подстановка (7.28) в (7 43) приводит к выражению

где

корреляционная матрица сигнала и помех,

корреляционная матрица шума, — мощность шума в канале - единичная матрица.

Подставив (7.46) и (7.45) в (7.44), получим

Сравнение и показывает, что в отличие от алгоритма пространственной режекции помех, при использовании оптимального по критерию СКО алгоритма значение вектора весовых коэффициентов зависит не только от направлений прихода сигнала и помех, отраженных в передаточной матрице канала но также от мощностей помех и шума.

Сравнение алгоритмов пространственной режекции помех и СКО будет еще нагляднее, если предположить равенство

В этом случае (7.47) примет вид

Используя представление обратной матрицы рядом Тейлора [10]: нетрудно показать, что

и, следовательно, другой формой представления является выражение

Сравнение (7 50) и (7.32) показывает, что в случае вектора и практически совпадают.

Средний квадрат ошибки при оптимапыюй линейной пространственной обработке. Выражение для СКО (7.36) может быть приведено к более удобной для анализа форме, включающей корреляционную матрицу принимаемой реализации

где используется для обозначения k-го столбца матрицы т.е.

При использовании оптимального весового вектора (7.44), СКО оказывается равным

Учитывая (7.49), находим

СКО выражается действительным числом, поэтому величина в (7.52) также должна быть действительной.

С учетом последнего, окончательно получаем

Из (7.53) следует, что при с ростом отношения результата пространственной обработки сигнала стремится к нулю

Критерий максимума отношения мощностей сигнала и помехи. Хорошо известно, что вероятность ошибки при передаче данных в радиотехнических системах зависит от отношения мощностей сигнала и помех (ОСП) [9]. Поэтому величина ОСП после пространственной обработки сигнала также часто рассматривается как критерий качества работы

Перепишем выражение (7.28), выделив явно помеху

С учетом (7.54), результат пространственной обработки (7.9) принимаемой реализации выразится суммой

где

полезный сигнал в составе

ОСП определяется выражением

где мощность мощность смеси помех и шума.

Оптимальный, по критерию ОСП, вектор весовых коэффициентов должен удовлетворять условию

Из (7.56) следует

Также,

где

корреляционная матрица смеси помех и шума на элементах Используя (7.55), можно привести к виду

Подстановка (7.59) и (7.58) в (7 57) дает

Из выражения (7.62) трудно делать выводы о значении оптимального весового вектора. Ситуация изменится, если применить к комплексно-сопряженной, положительно определенной корреляционной матриц разложение Холецкого [10]:

где С - нижняя треугольная матрица

Подставив (7.63) в (7.62), и, обозначив

получим

Введя в рассмотрение матрицу

размером можно представить в более компактной форме

По определению [10], -норма матрицы равна

Сопоставление (7.65) и (7.66) позволяет записать

Известно [10], что 2-норма матрицы В равна квадратному корню из наибольшего собственного значения матрицы ВНВ. Это означает, что максимум достигается, если является собственным вектором матрицы соответствующим ее наибольшему собственному значению. Очевидно, что при использовании оптимального вектора будет равно собственному значению, соответствующему собственному вектору

Матрица одноранговая. Следовательно, ее единственное, отличное от нуля собственное значение является также и максимальным. Учитывая, что собственное значение одноранговой матрицы равно ее следу [10], а также то, что для всех матриц для которых определена операция произведения, можно записать

Принимая во внимание (7.63), последнее выражение приведем к

Используя подстановку в (7.62), можно убедиться, что максимум значения достигается, если

где произвольное, отличное от нуля число, выполняющее роль нормирующего коэффициента.

При работе корреляционную матрицу смеси помех и шума (7.60) определить сложнее, чем корреляционную матрицу входной реализации (7.46).

Учитывая (7.61), запишем к

В соответствии с леммой обращения матрицы [8]:

где X - -матрица у - -мерный вектор.

Умножая левую и правую части последнего равенства на с учетом (7.68) и (7.47) получим

Если в (7.68) принять

то, как нетрудно проверить подстановкой в (7.69),

Таким образом алгоритм, оптимальный по критерию СКО будет также оптимальным по критерию Обратное, вообще говоря, не верно.

Поскольку оптимальные весовые векторы по критериям СКО и ОСП совпадают, можно предположить, что и значения должны быть взаимосвязаны. Действительно, рассмотрим случай, описываемый соотношением (7.48).

Используя (7.46) и (7.49), можно привести к виду

Применяя к обратной матрице в последнем выражении формулу разложения, получаем

Используя (7.70), с учетом (7.68), нетрудно убедиться в справедливости соотношения

Таким образом, между существует монотонная зависимость: чем меньше тем больше