9.4.2. Статистики высокого порядка детерминированных импульсных и периодических сигналов

При обработке сигналов на практике часто возникают ситуации, при которых кроме шумового сигнала в анализируемой последовательности присутствует детерминированный сигнал. К числу таких сигналов можно отнести, например, сигналы конечной длительности (импульсные сигналы), значения которых принимаются нулевыми вне интервала времени, равного длительности сигнала. Такие сигналы называют детерминированными в противовес стохастическим сигналам (случайным

процессам), значения которых точно не известны в каждый момент времени. Основные определения и свойства моментов, кумулянтов и кумулянтных спектров стохастических процессов обсуждались выше. Далее мы рассмотрим определения и свойства статистик высокого порядка детерминированных сигналов. В частности будут рассмотрены кумулянты и кумулянтные спектры периодических сигналов на примере модели резонансных излучений радиолокационных объектов, рассмотренных в п. 9.2.

Сопоставление импульсных и периодических сигналов. Если действительный дискретный детерминированный сигнал, его мгновенная мощность равна , а полная энергия определяется выражением

Соответственно средняя мощность

где является оператором усреднения по времени.

Детерминированные импульсы имеют конечную общую энергию и нулевую среднюю мощность назовем их энергетическими. Периодические сигналы имеют среднюю мощность больше нуля и бесконечную полную энергию их называют мощностными. Например, все периодические сигналы и стационарные случайные процессы являются мощностными, а сигналы конечной длительности, затухающие экспоненты и синусоиды - энергетическими сигналами.

Фурье-анализ импульсных сигналов Пусть - детерминированный дискретный сигнал с конечной энергией, т.е.

Дискретное по времени преобразование Фурье (ДВПФ) от сигнала определяется выражением

а обратное дискретное по времени преобразование Фурье

Здесь и далее частота дискретизации принимается за единицу Поскольку имеет конечную энергию, представление сигнала в частотной области всегда существует, а сумма сходится так, что среднеквадратическая ошибка равна нулю. является периодической функцией частоты и в общем случае комплексной функцией.

Соотношение Парсеваля для импульсного сигнала имеет вид

Отсюда следует альтернативное выражение для полной энергии сигнала по его ДВПФ.

Фурье-анапиз периодических сигналов. Рассмотрим периодическую последовательность с периодом т.е. для любого целого значения k. Она имеет конечную среднюю мощность бесконечную полную энергию и может быть представлена в виде взвешенной суммы комплексных экспонент с частотами, кратными основной частоте однако число таких разных комплексных экспонент в точности равно

В этом случае пара дискретного преобразования Фурье для периодической дискретной последовательности имеет вид

Очевидно, что последовательность в спектральной области является в общем случае комплексной и периодической с периодом т.е. для любого целого значения Аналогично можно описывать и конечные сигналы длительностью отсчетов в предположении об их периодическом повторении за пределами интервала

Средняя мощность периодического сигнала

где начальное произвольное число суммирования, оператор усреднения по времени периодической последовательности. Оператор усреднения по времени эквивалентен если сигнал периодический с периодом . С учетом этого обратное дискретное преобразование Фурье может быть записано в виде

Из дискретного преобразования Фурье видно, что для действительной последовательности значение действительно, обладает сопряженной симметрией.

Соотношение Парсеваля для периодической последовательности с периодом имеет вид

или с использованием оператора усреднения

Анализ конечных по длительности сигналов. Выше приведен Фурье-анализ импульсных сигналов (детерминированных импульсов) и специального подкласса периодических сигналов, называемых периодическими последовательностями. Важным подклассом импульсных сигналов являются последовательности конечной длительности, для которых значения вне этого конечного шггервала равны нулю Далее будет рассмотрено соотношение между представлением Фурье последовательностей конечной длительности и периодическими последовательностями и установлено, при каких условиях это соотношение выполняется.

При обработке сигналов довольно часто мы имеем дело с сигналом чьи значения известны в ограниченном интервале времени Значение сигнала вне этого интервала, т.е. для неизвестны. Поэтому мы не можем отнести сигнал ни к импульсному, ни к периодическому, пока не сделаем определенных предположений относительно неизвестных отсчетов сигнала.

Можно предположить, что эти отсчеты равны нулю, либо являются периодическим повторением сигнала, заданного на конечном интервале в значений. Ясно, что эти предположения не являются единственно возможными.

Рассмотрим два вида сигналов:

- сигнал конечной длительности с ;

- периодический сигнал

Очевидно, что детерминированный импульсный сигнал с преобразованием Фурье

При этом мы имеем

С другой стороны, сигнал - периодический сигнал с периодом Тогда коэффициенты ряда Фурье

Уравнение Парсеваля определяется как

Для получения связи между и учтем, что

Дискретное по времени преобразование Фурье от функции имеет

при условии, что нечетное число.

Определим спектр сигнала

где означает операцию свертки.

После преобразований получим

Поскольку найдем

Из сопоставления и видно, что

Таким образом, если мы примем, что для является одним периодом последовательности то преобразование Фурье последовательности с конечной длительностью можно получить из коэффициентов ряда Фурье с помощью формулы интерполяции (9.131).

С другой стороны, если принять, что является последовательностью конечной длительности с нулевыми отсчетами вне интервала коэффициенты ряда Фурье эквивалентной периодической последовательности являются результатом дискретизации в каждой из точек

Моменты импульсных сигналов. Далее рассмотрим определения и свойства моментов высокого порядка детерминированных сигналов с конечной энергией.

Если действительный сигнал с конечной энергией и его моменты существуют, тогда моментом порядка импульсного сигнала является -мерная функция

где для всех значений

Эти моменты представляют собой численную меру степени похожести сигнала и произведения задержанных или опережающих копий этого же сигнала. Например, значение функции момента порядка в начале координат, т.е. является внутренним произведением или взаимной энергией и

Рассмотрим частные случаи определения моментов высокого порядка. Момент 1-го порядка (среднее значение) определяется как

Момент 2-го порядка (автокорреляционная последовательность) определяется как

Очевидно, что от, - это энергия для действительного сигнала Автокорреляционная последовательность всегда четная, т.е. для всех целых значений можно также рассматривать как линейную свертку между

Момент 3-го порядка (тройная корреляция) находится как

Тройная корреляционная функция обладает свойствами симметрии относительно своих аргументов, как и у кумулянтов 3-го порядка стационарного случайного процесса. Отметим, что это мера асимметрии сигнала, а являются взаимной корреляцией и

Момент 4-го порядка определяется как

Сечения моментов 4-го порядка представляют собой взаимную корреляцию между

Моментные спектры импульсных сигналов. Моментный спектр порядка от импульсного сигнала определяется как мерное дискретное по времени преобразование Фурье от момента порядка

где .

Моментный спектр является непрерывной функцией частот кроме того, это в общем случае комплексная для и периодическая, с периодом функция.

В амплитудно-фазовой форме моментный спектр записывается как

Моментный спектр также можно определить с помощью дискретного по времени преобразования Фурье сигнала

В амплитудно-фазовой форме моментный спектр определяется как

Соотношение между моментным спектром порядка и моментным спектром порядка вытекает из формулы (9.142)

Особый интерес для дальнейшего использования представляют частные случаи моментных спектров для n = 2,3 и 4.

Энергетический спектр определяется соотношением

Энергетический спектр — это действительная неотрицательная четная функция, т.е. в ней подавлена фазовая информация. С ее помощью можно полностью восстанавливать (включая знак и задержку) только минимально-фазовые или максимально-фазовые сигналы.

Моментный спектр 3-го порядка (биспектр) определяется соотношением

это комплексная функция, обладающая такими же свойствами симметрии, что и введенный ранее биспектр Главное отличие биспектра от энергетического спектра состоит в том, что в нем сохраняется фазовая информация.

Триспектр определяется соотношением

По спектрам высокого порядка можно восстановить спектры более низкого порядка

Моменты периодических сигналов. В общем случае к периодическим сигналам относят также детерминированные и случайные сигналы заданные на конечном интервале отсчетов в предположении о их периодическом продолжении за пределами этого интервала.

Пусть действительный периодический сигнал, для которого существуют моменты высокого порядка, определяемые следующим выражением

где оператор усреднения по времени

Если сигнал периодический с периодом , то определение моментов высокого порядка несколько изменяется

где задан выражением (9.120).

Дополнительное свойство периодических сигналов заключается в периодичности моментов

Рассмотрим специальные случаи моментов высокого порядка периодических сигналов.

Момент 1-го порядка (среднее значение)

Момент 2-го порядка (автокорреляция)

При средняя мощность сигнала, четная функция, удовлетворяющая условию

Автокорреляцию можно определить через операцию круговой свертки

Очевидно, что для любого целого

Моменты 3-го порядка

Значение является мерой несимметрии последовательности в пределах периода.

Одномерные сечения моментов 3-го порядка определяются следующими выражениями:

Моменты 4-го порядка:

Одномерные сечения моментов 4-го порядка определяются следующими выражениями:

Очевидно, что, зная моменты высокого порядка периодических и импульсных сигналов, с помощью (9.98) можно найти их кумулянтные последовательности, но на практике ими пользуются очень редко.

Моментные спектры периодических сигналов. Пусть действительный периодический сигнал с периодом имеющий моменты высокого порядка .

В этом случае моментный спектр порядка определяется как

где — дискретные значения частот, в общем случае комплексная для и многомерная периодическая функция с периодом .

Моментные спектры высокого порядка от периодических сигналов являются дискретными функциями с частотами .

Как и в случае моментных спектров импульсных сигналов с конечной энергией, моментные спектры периодических сигналов могут быть выражены через их представления дискретным преобразованием Фурье

Моментный спектр порядка получается из моментного спектра порядка соотношением

Наиболее часто на практике используется спектр мощности и моментные спектры 3-го и 4-го порядков Они являются частными случаями общего выражения для моментных спектров. Спектр мощности

Спектр мощности представляет собой периодическую последовательность действительных неотрицательных чисел и является четной функцией на дискретных частотах - Средняя мощность сигнала равна

Моментный спектр 3-го порядка, или биспектр, имеет модуль и фазу, поскольку является комплексной функцией

Скалярная мера симметрии периодического сигнала определяется для моментов 3-го порядка при

Моментный спектр 4-го порядка, или триспектр, имеет вид

Отсюда следуют выражения для сечений триспектра

Следовательно, триспектр включает в себя спектр мощности и биспектр сигнала. Мера «эксцентриситета» (0, 0, 0) периодического сигнала определяется выражением