7.4. Пространственные каналы с МВМВ на основе цифровых АР

7.4.1. Теоретико-информационные аспекты передачи данных в пространственных каналах МВМВ

В традиционном подходе к анализу процесса передачи данных в ССПС рассматривается ситуация, при которой один из является источником сигнала, а излучения остальных считаются помехами. Однако, интуиция подсказывает, что в случае, когда все принадлежат одной соте, нет смысла делить их на источники сигнала и помех, так как излучения всех содержат информацию, предназначенную для Обратное также верно: излучение может нести в себе информацию для всей совокупности соты. Осуществлять параллельную передачу сигналов между группой и позволяет технология каналов МВМВ, основанная на применении цифровых (рис. 7.57).

Рис. 7.57. Формирование канала МВМВ в ССПС

Прежде чем перейти к рассмотрению алгоритмов приема и передачи данных в каналах МВМВ. исследуем, в какой мере их использование позволяет увеличить пропускную способность ССПС. В качестве модели сигналов и возмем ограниченные по полосе гауссовские случайные процессы. Как показано ниже, применение именно таких сигналов позволяет достичь максимальной скорости передачи информации.

При использовании гауссовских сигналов случайные процессы, регистрируемые на элементах также будут гауссовскими. Плотность распределения вероятности -мерного комплексного гауссовского вектора с корреляционной матрицей равна

где значение вектора символ операции вычисления определителя матрицы.

Энтропия вектора определяется выражением [18, 19]

где используется логарифм с основанием 2.

Подстановка (7.175) в (7.176) дает

Учитывая соотношение

(7.177) можно преобразовать к виду

Среди всех случайных векторов с корреляционной матрицей именно гауссовский вектор обладает наибольшей энтропией. В самом деле, пусть существует другой случайный вектор с такой же корреляционной матрицей, но другой Рассмотрим разность энтропий двух случайных векторов с различными ПРВ

где пространство -мерных комплексных векторов.

Учитывая, что является квадратичной функцией а также то, что математическое ожидание квадратичной функции определяется

лишь ее корреляционной матрицей, для (7.179) нетрудно получить неравенство

Информация о значении вектора сигналов соты, содержащаяся в реализации вектора принятой равна

где условная энтропия вектора при известном векторе (для краткости изложения обозначение момента времени опущено).

Из (7.28) следует, что при известном вектор полностью определяется значениями шума в каналах элементов Следовательно,

Подстановка (7.181) в (7.180), с учетом (7 178), приводит к результату

где мощность шума в канале Учитывая равенство

(7.182) можно преобразовать

Применяя разложение эрмитовой матрицы по собственным векторам

и, снова используя (7.183), (7.184) нетрудно привести к виду

Для случая равных мощностей сигналов всех равных где суммарная мощность излучения — число AT, (7.186) приводит к равенству

Величины будучи собственными значениями эрмитовой матрицы (7.185), представлены неотрицательными действительными числами. Поскольку ранг матрицы не может превышать то

В общем случае, равномерное распределение общей излучаемой мощности среди не является оптимальным решением. В самом деле, в

положительно-определенные матрицы.

Учитывая, что для определителя любой положительно-определенной матрицы А справедливо неравенство

верхнюю границу взаимной информации (7.186) можно оценить как

Неравенство (7.188) переходит в равенство только в случае, если диагональная матрица.

Как следует из (7.187), для выполнения этого условия достаточно выбрать

где диагональная матрица с неотрицательными элементами . Подстановка (7.189) в (7.186) приводит к равенству

Оптимальное распределение находится из теоремы заливки (water filling). В соответствии с этой теоремой

Алгоритм оптимизации иллюстрируется (рис. 7.58). Оптимальное распределение мощностей соответствует глубинам под уровнем поверхности «водоема», рельеф «дна» которого сформирован величинами Уровень выбирается таким образом, чтобы суммарная мощность излучения равная площади сечения «водоема», составляла

Рис. 7.58. Выбор оптимальных мощностей излучения

Предположим снова, что мощности излучения одинаковы. Для этого случая (7.184) запишется в виде

Введем в рассмотрение нормирующий множитель такой, что элементы матрицы

имеют единичные дисперсии. Физический смысл это средний коэффициент передачи по мощности канала связи между и элементами

Произведение представляет собой мощность, принимаемую элементами а отношение

ОСП в канале элемента АР.

С учетом (7.193) и (7.194) взаимная информация (7.192) равна

Известно, что собственные значения матрицы с ростом стремяться к результате, для многоэлементных получаем выражение

В случае

Последнее равенство показывает, что при использовании технологии каналов МВМВ увеличение ОСП на 3 дБ приводит к росту спектральной эффективности ССПС примерно на . В случае обычных антенных систем аналогичный рост ОСП приводит к повышению спектральной эффективности лишь на 1 бит/с/Гц.