9.3. Методы оценки характеристик сигналов

9.3.1. Метод Прони

Рассмотрим один из методов определения значений параметров линейной комбинации экспоненциальных функций - метод Прони [20]. Ставится задача: при наличии отсчетов данных одновременно минимизировать по параметрам и числу экспонент сумму квадратов следующих ошибок

Решить такую задачу можно с использованием итеративных процедур, таких как метод градиентного спуска и метод Ньютона. Эти алгоритмы требуют больших вычислительных затрат и, кроме того, могут не сходиться к глобальному минимуму. Указанные трудности привели к разработке субоптимальных процедур минимизации решающих поставленную задачу с помощью линейных уравнений.

При равенстве числа отсчетов входной последовательности числу экспоненциальных параметров возможна точная подгонка экспонент под имеющиеся данные. Перепишем выражение (9.53) в виде

где используется для подгонки к модели с комплексными параметрами Входящие в (9.58) К уравнений, запишем в матричной форме:

Матрица с временными индексами элементов имеет структуру матрицы Вандермонда. Прони нашел метод для раздельного определения элементов решив (9 59), определил неизвестный вектор комплексных амплитуд.

Принцип разделения основан на том факте, что уравнение (9.59) является решением некоторого однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Для того чтобы определить вид этого уравнения, необходимо сначала определить полином корнями которого являются экспоненты

Если произведения в (9.60) выразить в виде степенной последовательности, то полином можно представить в виде

с комплексными коэффициентами уравнений для нахождения значений запишем в виде рекуррентного разностного уравнения

или в матричном виде:

Итак, процедуру Прони для подгонки К экспонент к отсчетам данных можно представить в виде следующих трех этапов. На первом этапе получается решение уравнения (9.62) для коэффициентов полинома. На втором этапе вычисляются корни полинома, определяемого уравнением (9.61).

Используя корень можно определить коэффициент затухания и частоту синусоиды с помощью соотношений

Для завершения процедуры Прони корни полинома, вычисленные на втором этапе, используются далее для формирования элементов матрицы уравнения (9.59), которое затем решается относительно К комплексных параметров Каждый параметр используется далее для определения амплитуды и начальной фазы

Если число отсчетов данных превышает число экспонент в сигнале, как и бывает на практике, то на первом этапе алгоритма Прони можно использовать ряд методов на основе критерия среднеквадратической ошибки. К этим методам относятся, например, метод линейного предсказания среднеквадратической оценки вперед и комбинация линейною предсказания вперед и назад.

Использовав (9.57) и (9.63), запишем уравнение, определенное при

Уравнение (9.66) показывает, что альтернативной моделью суммы экспонент и аддитивного шума является модель на основе авторегрессии и скользящего среднего возбуждаемого шумовым процессом Минимизируя величину квадрата ошибки первая часть метода Прони сводится к процедуре оценивания параметров. Существуют различные способы их определения.

Рассмотрим оценку параметров с помощью метода линейного предсказания вперед

где коэффициенты линейного предсказания вперед порядка К.

Предсказание «вперед» понимается в том смысле, что результат предсказания для текущего отсчета данных представляет собой взвешенную сумму из К предшествующих отсчетов. Ошибку вперед можно записать в виде матричного уравнения

Используя при расчетах ту или иную часть матрицы данных, нормальные уравнения (9.68) носят названия ковариационных, автокорреляционных, предвзвешанных или поствзвешанных.

Рассмотрим, например, оценку основанную на ковариационном методе. Соотношение между ошибками линейного предсказания вперед и коэффициентами можно в краткой форме записать в следующем виде:

где Т - теплицева матрица данных размера ; вектор ошибок - элементный вектор коэффициентов определяются выражениями

Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки а и

порядка К, будут иметь следующий вид:

где означает эрмитово сопряжение.

Элементы эрмитовой матрицы имеют вид корреляционных форм

где знак комплексного сопряжения.

Рассмотренный выше метод, в случае гауссовских процессов, дает для параметров оценку, приближающуюся в оценке максимального правдоподобия.

Рассмотрим ковариационный метод применительно к оценке линейного предсказания назад

где коэффициенты назад порядка К. В этом случае результат предсказания для текущего отсчета данных является взвешенной суммой К последующих отсчетов. Для конечного набора отсчетов данных параметры назад, определяемые по методу наименьших квадратов, в общем случае не идентичны параметрам линейного предсказания вперед.

Нормальное уравнение для линейного предсказания назад будет иметь следующую форму:

где средний квадрат ошибки линейного предсказания назад.

Если значения параметров были определены с помощью линейного предсказания вперед или назад по методу наименьших квадратов и факторизацией полинома, то экспоненциальная аппроксимация становится линейной относительно оставшихся неизвестных параметров

После минимизации суммы квадратов ошибок по каждому параметру получим следующее комплексное нормальное уравнение:

где матрица - вектор вектор отсчетов данных у определяются выражениями:

Процедура, использующая на первом и втором этапе метода Прони соответствующие линейные процедуры наименьших квадратов, называется обобщенным методом Прони.

Использование других алгоритмов оценки модели приводит к множеству модификаций метода Особого внимания заслуживает совместное использование назад и вперед и сочетание линейного метода Прони с нелинейной операцией усечения матрицы данных с использованием сингулярного разложения.

Максимальное значение порядка метода в любом случае ограничено величиной а определение истинного числа К в реальных условиях является труднорешаемой задачей. При использовании модели разработаны различные критерии оптимизации К в зависимости от отношения сигнал/шум. Для определения оптимального критерия при решении задачи целесообразно проведение математического моделирования. Исходный метод Прони подгоняет экспоненты к любому аддитивному шуму, присутствующему в данных, поскольку экспоненциальная модель не позволяет получать раздельную оценку этого шумового процесса. Именно по этой причине исходный метод Прони часто не обеспечивает удовлетворительных результатов при значительном уровне аддитивного шума, поскольку не позволяет учесть наличие шума в анализируемом процессе. Использование, например, значения К, превышающего число действительно имеющихся полюсов, позволяет повысить точность оценки полюсов резонансной модели объектов в сверхширокополосной радиолокации.