9.4. Обработка сигналов с использованием статистик высокого порядка

9.4.1. Статистики высокого порядка случайных процессов

Под статистиками высокого порядка случайных процессов понимаются моменты и кумулянты случайных процессов, а также их спектры выше 2-го порядка.

Моменты и кумулянты высокого порядка случайных процессов. Зададимся вещественным дискретным стационарным случайным процессом с нулевым средним . В том случае, если его моменты до порядка включительно существуют, тогда [28]

где обозначает математическое ожидание.

Моменты зависят только от временных сдвигов для всех Таким образом, (9.92) описывает последовательность моментов порядка

Кумулянтная последовательность стационарного случайного процесса порядка является -мерной функцией, которая записывается как

Теперь определим связь между моментами и кумулянтами Кумулянты 1-го порядка (среднее значение) определяются как

Кумулянты 2-го порядка (автокорреляционная последовательность) определяется как

Кумулянты 3-го порядка определяются как

где последовательность моментов 3-го порядка.

Кумулянты 4-го порядка случайного процесса определяются как

Если случайный процесс имеет нулевое среднее, т.е. , тогда

Положим тогда стационарный случайный процесс характеризуется следующими параметрами:

Нормализованный эксцесс может быть определен как

Из формулы моментов и кумулянтов 3-го порядка случайного процесса с нулевым средним (9.98) следует, что двумерная последовательность кумулянтов 3-го порядка обладает следующими свойствами симметрии:

Из соотношения следует симметрия последовательности кумулянтов 3-го порядка относительно прямой в плоскости При аналогичном проведении исследования симметрии, легко убедиться в том, что плоскость может быть разбита на шесть секторов, причем, определив в любом из этих шести

секторов, найдем все остальные члены последовательности кумулянтов 3-го порядка. Области симметрии последовательности кумулянтов 3-го порядка показаны на рис. 9.25.

Рис. 9.25. Области симметрии последовательности кумулянтов порядка

Сектор 1 включает в себя линии , а также удовлетворяет условиям

Спектры высокого порядка случайных процессов. Рассмотрим стационарный случайный процесс , для последовательности кумулянтов порядка которого выполняется следующее условие:

являющееся условием существования преобразования Фурье. Тогда n-мерный кумулянтный спектр для этого процесса определяется как преобразование Фурье от кумулянтной последовательности (9.93)

Согласно теореме спектр мощности является преобразованием Фурье от автокорреляционной последовательности

Спектр мощности также называют спектром порядка.

Двумерное преобразование Фурье от последовательности кумулянтов порядка дает биспектр, или спектр порядка

Таким образом, биспектр является двумерной функцией частоты.

Триспектр, или спектр порядка находится как

В общем случае спектр порядка процесса определяется как преобразование Фурье последовательности порядка с .

Этот спектр, в общем случае, является комплексным (напомним, что спектр мощности является действительной функцией) и условием его существования является абсолютная суммируемость последовательности кумулянтов . Спектр порядка также называется полиспектром.

Кумулянтный спектр является периодической функцией с периодом

Для определения полиспектров используется именно последовательность кумулянтов, а не последовательность моментов случайного процесса по двум причинам:

для гауссовских процессов все кумулянты высоких порядков обращаются в нуль, поэтому наличие ненулевых полиспектров явно указывает на негауссовость случайного процесса;

если случайные величины можно разбить на любые две или более группы статистически независимых величин, то их кумулянты порядка будут тождественно равны нулю. Значит, кумулянтные спектры дают меру статистической зависимости отсчетов Физический смысл спектра мощности

состоит в том, что он выражает вклад в среднее значение произведения двух спектральных функций на одинаковых частотах

где означает комплексное сопряжение.

Спектр мощности обладает следующими свойствами: т.е. это четная (симметричная относительно нуля) функция;

периодическая по частоте функция, поскольку автокорреляционная последовательность дискретная

где автокорреляционная последовательность;

спектр мощности является вещественной неотрицательной функцией:

корреляционная последовательность есть четная функция, т.е. ;

поскольку площадь под спектром мощности в пределах периода по частоте отнесенная к периоду представляет среднюю мощность последовательности ;

спектр мощности не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими.

В том случае, если последовательность кумулянтов 3-го порядка случайной последовательности определяется выражением (9.98), то ее биспектр определяется как

а так как моменты 3-го порядка и кумулянты 3-го порядка совпадают, биспектр представляет собой кумулянтный спектр 3-го порядка.

Физический смысл биспектра вытекает из рассмотрения среднего значения произведения трех составляющих спектральной плотности случайной последовательности и определяется выражением

Итак, биспектр показывает вклад в среднее значение произведения трех спектральных составляющих, когда одна из частот равна сумме двух других частот.

На практике для определения спектров высокого порядка гораздо удобнее пользоваться формулами для альтернативного нахождения спектров и (9.111). Согласно этим формулам спектры высоких порядков находятся как произведение спектров 1-го порядка случайного процесса, при этом значительно уменьшаются вычислительные затраты, а значит и время нахождения спектров.

Из выражения (9.110) и свойств симметрии (9.99) следуют основные свойства биспектра:

является в общем случае комплексной функцией, т.е. его можно представить в виде

двукратно периодичен с периодом

- биспектр обладает следующими свойствами симметрии:

Области симметрии биспектра представлены на рис. 9.26, из которого видно, что биспектр включает 12 секторов, причем определение биспектра в любом из них с учетом периодичности в -позволяет определить весь остальной биспектр исследуемой последовательности.

Кумулянтные спектры более полезны при обработке случайных сигналов, чем моментные спектры по следующим причинам:

- гауссовские процессы имеют нулевые кумулянтные спектры порядка ненулевой кумулянтный спектр дает меру степени негауссовости процесса;

- кумулянты дают удобную меру степени статистической зависимости;

- кумулянтный спектр суммы двух статистически независимых случайных процессов с ненулевым средним равен сумме их собственных кумулянтных спектров, что не выполняется для моментных спектров;

- допущение об эргодичности лучше выполняется при вычислении кумулянтов, а не моментов.

Рис. 9.26. Области симметрии биспектра случайной последовательности