7.2.3. Алгоритмы адаптации ИА

Классификация алгоритмов. В реальных условиях работы передаточная матрица канала следовательно, корреляционная матрица а также вектор взаимной корреляции непрерывно изменяются. Как следствиие, вынуждена постоянно адаптировать значение оптимального весового вектора (7.44) к новым условиям распространения сигнала и помех. Алгоритмы, позволяющие отслеживать изменения в условиях функционирования и согласовывать с ними значение весового вектора называются алгоритмами адаптации.

Можно выделить два основных подхода к решению задачи адаптации весового вектора (рис. 7.31) Первый подход основан на оценке градиента критерия качества работы и последовательной коррекции весового вектора в направлении, определяемом направлением градиента. В случае, когда целью адаптации является минимизация изменения производятся в направлении, противоположном направлению градиента

где номер временного отсчета, положительное число.

Рис. 7.31. Классификация алгоритмов адаптации

В (7.71) введена зависимость от времени что отражает процесс изменения весового вектора. В соответствии со схемой, представленной на рис. 7.26, обработка сигналов в цифровой осуществляется после

АЦП, поэтому входными данными алгоритма адаптации служат отсчеты сигналов, взятые в дискретные моменты времени. При анализе алгоритмов адаптации частота дискретизации не играет принципиальной роли и может быть принята равной единице [6].

К градиентным алгоритмам адаптации относится алгоритм наименьших квадратов основанный на применении критерия так называемые, «слепые» алгоритмы адаптации, среди которых наиболее распространенным является алгоритм адаптации, построенный на базе критерия квадрата отклонения модуля [4]:

В отличие от критерия СКО, критерий позволяет оценивать градиент без использования пилот-сигнала, т.е. «вслепую».

Второй тип алгоритмов адаптации основан на прямой оценке корреляционной матрицы и непосредственном вычислении оптимального весового вектора с помощью (7.44). Наиболее известным алгоритмом прямой оценки является алгоритм последовательной регрессии [6]

При использовании алгоритмов адаптации, подразумевающих применение обучающих последовательностей или пилот-сигналов, необходима временная синхронизация по задержке генератора копии пилот-сигнала в с пилот-сигналом, передаваемым Работа схемы синхронизации основана на вычислении корреляции сигнала генератора с временной задержкой и выходного сигнала И А

Учитывая, что выходной сигнал содержит пилот-сигнал, принятый от значение при котором достигает максимума, считается моментом прихода пилот-сигнала на и определяет временную задержку генератора копии пилот-сигнала.

Алгоритмы градиентного поиска.

Алгоритм наименьших квадратов. Алгоритм относится к типу градиентных алгоритмов адаптации и основан на применении критерия Его реализация требует вычисления градиента [6]

Пусть векторы х и у представляют, соответственно, действительную и мнимую части весового вектора

является действительной функцией комплексного аргумента. Следуя [4], для такой функцни можно определить градиент в виде комплексного вектора

Частные производные действительной функции по в (7.73) являются действительными числами. Использование комплексной единицы в (7.73) позволяет их разделить так, что только одновременное обращение в ноль как производных по так и по соответствует нулю

Очевидно, что частные производные первого слагаемого в (7.53) равны нулю. Для частных производных второго слагаемого получаем выражения

В соответствии с (7.73),

Частные производные последнего слагаемого в (7.53) по определяются следующим образом:

(см. скан)

В соответствии с (7.78), для вычисления градиента целевой функции требуются значения (7.43) и которые, в общем случае, оцениваются усреднением величин по большому числу принимаемых реализаций. В то же время, если выбрать в (7.71) значение достаточно маленьким, то усреднение можно производить непосредственно в процессе адаптации весового вектора.

Примем в качестве грубых приближений к и величины, получаемые из текущих реализаций сигнала

где пилот сигнал, соответствующий

Подстановка (7.79) и (7.80) в (7.78), с учетом (7.33), дает

Использование (7.81) в (7.71) приводит к уравнентпо адаптации весового вектора в соответствии с алгоритмом

схема использующая алгоритм представлена на рис. 7.32.

Рис. 7.32. Схема использующая алгоритм

Коэффициент в (7.82) существенным образом влияет на характеристики алгоритма адаптации. Слишком маленькое значение приводит к низкой скорости адаптации, тогда как большое значение сможет повлечь неустойчивую работу алгоритма, при которой не обеспечивается сходимость к оптимальному значению

При анализе влияния величины у на поведение алгоритма адаптации понадобятся некоторые сведения из теории матриц. Пусть матрица, столбцы которой представлены нормированными собственными векторами корреляционной матрицы диагональная матрица, составленная из соответствующих собственных что

Верны следующие равенства [11]:

Собственные значения корреляционной матрицы являются действительными неотрицательными числами [6,11], т.е.

Кроме того след матрицы

равен следу корреляционной матрицы т.е.

которое показывает, что сумма собственных значений матрицы равна суммарной мощности реализаций принимаемых элементами

Определим диапазон значений при которых процедура адаптации весового вектора сходится. Взятие математического ожидания обоих частей равенства (7.82), с учетом (7.33), дает

а осуществив преобразование последнего выражения, при условии независимости векторов

(см. скан)

Неравенство (7.97) предоставляет практический способ получения оценки и по измерению мощности принимаемой реализации.

«Слепой» алгоритм адаптации. Функционирование «слепого» алгоритма адаптации основано на использовании свойства принимаемого сигнала, которое известно и может быть оценено без применения пилот-сигнала. Одним из таких свойств обладают сигналы с постоянной амплитудой. В случае их применения «слепой» алгоритм оценивает модуль принимаемого сигнала и производит адаптацию весового вектора, основываясь на критерии КОМ.

В общем случае, суперпозицпия полезного сигнала и помех имеет случайную, быстроменяющуюся амплитуду. Если удается осуществить пространственную режекцию помех, то модуль принимаемого сигнала будет определяться только амплитудой полезного сигнала, т.е. окажется постоянным. Именно к такому результату стремится "слепой" алгоритм адаптации.

Критерий качества (7.72) функционирования "слепого" алгоритма адаптации можно записать в виде

в этом случае ошибкой при приеме сигнала служит величина

Используя другое представление модуля

из (7.98) получаем:

Результаты вычисления градиента квадратичной функции отраженные в (7.77), позволяют определить

Применяя обозначение

можно записать (7.101) в более компактной форме

Подстановка (7.103) в (7.71) приводит к уравнению адаптации весового вектора при использовании алгоритма

Как следует из (7.104), алгоритм относится к типу блочных алгоритмов. Изменение весового вектора происходит с периодом который, в общем случае, больше единицы.

Определим диапазон значений коэффициента при котором процесс адаптации сходится. Пусть матрица собственных векторов диагональная матрица соответствующих собственных значений Изменим систему координат представления вектора введя в рассмотрение векторы

Тогда уравнение (7.104) запишется в виде

Умножение обеих частей (7.105) слева на дает

В случае, если процесс адаптации расходится, вектор а значит и модуль принимаемого сигнала неконтролируемо растут. В какой-то момент окажется

Нормально функционирующий алгоритм адаптациии должен в этом случае произвести уменьшение компонент весового вектора. При условии (7.107), в соответствии с (7.102)

Матрица (7.108) является эрмитовой с действительными неотрицательными собственными значениями. Поэтому, как следует из (7.106), условием уменьшения компонент весового вектора является неравенство или ему эквивалентное

Учитывая (7.108), условие (7.109) можно записать в форме

Как следует из (7.110), верхняя оценка допустимых значений изменяется во времени. Таким образом, само значение также может изменяться с течением времени, от блока к блоку.

Для случая

уравнение адаптации (7.104) принимает вид

Схема использующая "слепой" алгоритм адаптации представлена на рис. 7.33.

Рис. 7.33. (см. скан) Схема ИА, использующая «слепой» алгоритм адаптации

Отказ от использования пилот-сигнала имеет и негативные последствия. В первую очередь необходимо отметить, что "слепой" алгоритм не способен отличить полезный сигнал от мощной помехи, имеющей постоянную амплитуду. В такой ситуации может сформировать настроенную на прием помехи. Эта проблема преодолевается надлежащим выбором начального приближения для весового вектора [4].

На рис. 7.34 даны примеры графиков, отражающих изменения квадратов ошибок (7.35) и (7 99) при использовании градиентных алгоритмов адаптации. Сигнал поступает с направления 45° и принимается на фоне шести равномощных помех, приходящих с направлений Мощность гауссовского шума в каналах элементов взята на меньше мощности сигнала. В качестве моделей сигналов и помех рассматриваются сигналы ССПС CDMA, сформированные прямым расширением спектра на основе использования псевдослучайных последовательностей [1]. Частота отсчетов принимаемой реализации принята равной частоте следования элементов псевдослучайной последовательности.

Рис. 7.34. (см. скан) Зависимость квадрата ошибки приема сигнала от времени адаптации для: а - алгоритма НК; б - «слепого» алгоритма

Графики на рис. 7.34 показывают, что время сходимости алгоритма на порядок меньше времени сходимости «слепого» алгоритма.

Алгоритм последовательной регрессии. Вывод уравнений регрессии. Работа алгоритма последовательной регрессии основана на вычислении оптимального весового вектора непосредственно по результатам оценки корреляционной матрицы принимаемой реализации. Вместо критерия СКО, алгоритм использует критерий качества функционирования, описываемый выражением [12]

где Критерий (7.111) лучше, чем СКО, подходит для работы в условиях меняющейся передаточной матрицы канала связи. Применение коэффициента позволяет управлять «памятью» варьируя степень влияния на весовой вектор реализаций, в зависимости от давности их приема.

Введя обозначения для матрицы размером со столбцами а также для -мерного вектора, составленного из значений пилот-сигнала можно представить в виде

где

(см. скан)

получим

и при достаточно малых доказывается

что противоречит предположению об оптимальности вектора Преобразования (7.115) дают

Если имеет полный столбцовый ранг (это верно для случайных сигналов при выполнении (7.113)), то оптимальный весовой вектор может быть найден из выражения

Выражения в (7.116)

и

представляют собой оценки корреляционной матрицы и вектора взаимной корреляции соответственно.

Таким образом, (7.116) можно записать в виде

Сравнение уравнений (7.119) и (7.44) подчеркивает единство принципов построения алгоритмов и

При работе алгоритма в каждый новый временной отсчет изменяется только один столбец матрицы Это наводит на мысль, что вычисление весового вектора может осуществляться рекурентно, с учетом его предыдущего значения .

Действительно, (7.117) и (7.118) можно представить в виде

(см. скан)

Применение к (7.129) формулы Шермана-Моррисона-Вудбери [10]:

дает

Начальным приближением для может служить единичная матрица.

Схема ИА, реализующая алгоритм представлена на рис. 7.35. На рис. 7.36,а приведена траектория изменения действительных частей весовых коэффициентов с двухэлементной при за пятьдесят временных отсчетов. Рассмотрена ситуация приема сигнала с направления 90° и прихода помехи с направления 0° (рис. 7.36,б). Значение ОСП на входах элементов принято равным График траектории построен на фоне функции СКО, расчитанной в предположении равенства нулю мнимых частей весовых коэффициентов, что в данной ситуации справедливо для Как следует из рис. 7.36,а, с течением времени флуктуации значений весового вектора становятся все меньше, приближаясь к оптимальному значению.

Рис. 7.35. Схема использующей алгоритм

(кликните для просмотра скана)

На рис. 7.37 представлена последовательность отражающая процесс адаптации с помощью алгоритма Рассматривается случай семи равномощных излучений, одно из которых, приходящее с направления 45°, соответствует полезному сигналу.

На рис. 7.38 приведен пример графика, иллюстрирующего изменение квадрата ошибки (7.35) при использовании алгоритма для случая При построении графика применялась та же модель сигнала и помех, что и в случае создания графиков (см. рис. 7.34). Из сравнения графиков рис. 7.34 и 7.38 следует, что скорость сходимости алгоритма выше скорости сходимости градиентных алгоритмов адаптации.

Рис. 7.38. Зависимость ошибки приема сигнала от времени адаптации при использовании алгоритма

Работа алгоритма в условиях изменяющихся параметров канала связи. Выбор значения у существенным образом влияет на характеристики алгоритма ПР. С одной стороны, должно быть достаточно большим, чтобы обеспечить высокую точность приближения к оптимальному весовому вектору, а с другой стороны, слишком большое не позволит отслеживать изменения параметров канала связи. Необходимо оценить, как влияет на точность алгоритма и скорость его реакции на изменения условий функционирования

Подстановка (7.125) в (7.128) позволяет записать уравнение для оптимального весового вектора в виде

Обозначив ошибку, достигаемую применением оптимального весового вектора, (7.130) можно привести к виду

Правомерно считать, что входные реализации не коррелированны с весовым вектором. Тогда вычитание из левой и правой частей последнего равенства вектора а также взятие математического ожидания от обеих частей равенства с использованием обозначения дают

При значениях у, близких к единице, величина статистически не зависит ни от реализации ни от ошибки Кроме того, некоррелированны (п.п. 7.2.2.2). Отсюда следует, что второе слагаемое в правой части (7.131) равно нулю и

Принимая во внимание, что выражение (7.120) можно представить суммой

где некоторая Эрмитова матрица, с достаточно малыми по модулю элементами, математическое ожидание которой равно нулю

Для обратной матрицы (7.133) верно приближенное равенство [13]

Вычисление математического ожидания (7.135) с учетом (7.134) приводит к соотношению

Подстановка (7.133) в (7.132), с учетом (7.136), позволяет получить рекурентное уравнение

решением которого служит

Как следует из (7.138), в процессе адаптации с помощью алгоритма среднее отклонение весового вектора от оптимального по критерию СКО-вектора стремится к нулю.

Число итераций , необходимое для уменьшения раз, называется временем сходимости процесса адаптации и вычисляется по формуле

Из (7.51) следует, что ожидаемое увеличение СКО, обусловленное отклонением используемого весового вектора от оптимального, равно

В [13] показано, что отношение приращения СКО к своему оптимальному значению оценивается соотношением

где

коэффициент увеличения ошибки.

Выражая в (7.139) через , и используя результат в (7.140), получаем

Рис. 7.39. Зависимость коэффициента дополнительной ошибки от времени сходимости процесса адаптации

Последнее выражение иллюстрирует связь между временем сходимости процесса адаптации и коэффициентом увеличения ошибки: чем больше время сходимости — тем ближе СКО к своему минимальному значению (рис. 7.39). Учитывая, что время сходимости не должно превышать интервала стационарности канала связи, можно сделать вывод

об ухудшении характеристик алгоритма адаптации в реальных условиях работы ИА по сравнению с оптимальным алгоритмом.

Пусть отсчеты принимаемой реализации берутся с периодом где ширина спектра сигнала. Тогда число отсчетов за интервал стационарности канала равно

В соответствии с [14], может быть найдено из соотношения

где доплеровский спектр сигнала [14]

скорость перемещения длина волны несущей, частота несущей, с - скорость распространения ЭМВ.

Подстановка (7.144) в (7.143) и далее в (7.142) приводит к равенству

из которого следует, что число отсчетов принимаемой реализации, взятых за интервал стационарности канала, обратно пропорционально скорости перемещения Учитывая (7.141), можно сделать вывод, что чем выше скорость перемещения тем больше коэффициент дополнительной ошибки при работе