3.21. Примеры.

1. Разряд конденсатора на индуктивность и сопротивление

Пусть конденсатор С, заряженный до напряжения разряжается в цепи, состоящей из индуктивности и сопротивления (рис. 6).

Положительное направление тока изображено стрелкой; напряжение рассматривается как разность потенциалов между верхней и нижней обкладками конденсатора.

Рис. 6.

Обходя контур по направлению стрелки тока, можем на основании закона Кирхгофа написать следующее уравнение:

причем требуется найти решение этого уравнения при условии при

Совершая преобразование Лапласа над этим уравнением (т. е. умножар уравнение на и интегрируя в пределах и находим:

и, следовательно,

Полученное выражение для преобразованной функции тока совпадает с выражением для аналогичной величины из примера 1 [3.14]. Следовательно, мы можем, не повторяя выкладок, сразу написать:

где

2. Переключение сопротивления

Постоянная э. д. с. Е длительное время включена в цепь, изображенную на рис. 7, причем переключатель К включен налево (замыкает цепь ).

Рис. 7.

В цепи, содержащей индуктивность I, очевидно, устанавливается постоянный ток

а на конденсаторе постоянное напряжение

В момент переключатель К перебрасывается направо, размыкая цепь и включая Будем искать напряжение на конденсаторе для моментов времени, следующих после процесса переключенйя

На основании законов Кирхгофа можем написать:

Эту систему уравнений следует проинтегрировать при начальных условиях:

Совершая преобразование Лапласа над каждым уравнением (3), получаем:

или

Исключая из этих алгебраических уравнений получаем:

Подставляя сюда из (1) и (2) начальные значения и произведя алгебраические преобразования, найдем:

К этому выражению можно непосредствённо применить теорему разложения; однако для упрощения выкладок целесообразно переписать в следующей форме:

Таким образом,

где

Найдем теперь исходные функции для и -Для первой из них имеем непосредственно

Для нахождения обратимся к теореме разложения

Прежде всего напишем

где корни уравнения

т. е.

где

Теперь получим:

Учитывая, что произведя преобразования, получаем:

Таким образом,

3. Включение синусоидальной электродвижущей силы в контур

Рассмотрим задачу о включении синусоидальной э. д. с. в контур, состоящий из последовательно включенных индуктивности I, емкости С и сопротивления (рис. 8).

Рис. 8.

Хотя включение производится при нулевых начальных условиях, мы для упрощения выкладок применим способ выделения стацио нарного тока, после чего придем к интегрированию уравнения при ненулевых начальных условиях. Это обстоятельство позволяет рассмотреть данную задачу в настоящем параграфе.

Основное уравнение можем написать следующим образом:

Положим теперь, что искомое решение представляется в виде суммы

где представляет собою установившийся переменный ток, т. е.

где определяется равенством:

Подставляя (2) в (1) и учитывая, что

получаем

Здесь для сокращения введено обозначение:

Это уравнение нужно проинтегрировать при начальном условии при Следовательно,

Применяя к (3) преобразование Лапласа, получаем:

т. е.

Теперь напишем

где

Если сравнить с выражением для преобразованного тока в примере 1 [3.14], то делается очевидным, что

(обозначение для из упомянутого примера). Так как

причем то

Поэтому можем написать:

Окончательное решение для суммарного тока, протекающего по цепи, можем теперь написать:

Если мнимое число, то, положив найдем:

Здесь: