ГЛАВА 1. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА

В основе операционного исчисления лежит так называемое преобразование Лапласа. Это обстоятельство заставляет нас начать изложение основ операционного исчисления с этого преобразования.

1.1. Определение преобразованной функции и некоторые ее свойства.

Пусть имеется некоторая функция независимой переменной и пусть дано комплексное числа

Преобразованной по Лапласу или просто преобразованной функцией мы будем называть функцию (от независимой переменной определяемую соотношением:

Для того чтобы преобразованная функция была определена, достаточно потребовать, чтобы интеграл (1) существовал для некоторой области значений за пределами которой этот интеграл может не иметь смысла.

Так, например, преобразованная функция от единицы будет равна

Здесь при вычислении интеграла предполагается, что вещественная часть положительна При интеграл

теряет смысл, но преобразованная, функция от единицы всюду равняется

В качестве второго примера рассмотрим функцию где а — вещественное число. При можем написать:

и, следовательно,

последний интеграл теряет смысл при , но мы будем считать, что

при любых значениях

Может случиться, что интеграл (1) не существует ни при каких значениях . В этом случае преобразование невозможно. Однако в физических задачах мы всегда сталкиваемся с такими функциями, для которцх преобразование по Лапласу возможно. Легко показать, что если в интервале ограничена или растет с возрастанием как или даже как где а — положительное число, то преобразованная функция существует.

В задачах, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, эти условия всегда выполняются, и для нас вопрос о существовании преобразованной функции во всех случаях решается в положительном смысле.

Некоторые свойства преобразованных функций. Сейчас мы рассмотрим некоторые основные свойства преобразованных функций, необходимые для дальнейшего изложения. Более общие теоремы, относящиеся к этим функциям и находящие применение в операционном исчислении, будут изложены дальше.

Составим сначала преобразованную функцию от производной. Предположим, что

тогда, в соответствии с определением, можем написать:

интегрируя по частям, приходим к равенству:

Предполагая, что вещественная часть выбрана достаточно большой для того, чтобы произведение, стоящее в прямых скобках, стремилось к нулю при можем написать:

где значение функции при

В частном случае, если то при дифференцировании функции соответствующая ей преобразованная функция умножается на Иначе говоря, в этом случае дифференцированию исходной функции соответствует умножение преобразованной функции на

Полученный результат легко обобщается на производные высших порядков. Последовательным применением формулы (2) получаем, если

то

где — производные соответствующих порядков, взятые при значении

Рассмотрим теперь функцию, равную интегралу от взятому в пределах от и т. е. положим

отсюда непосредственно следует, что

Воспользовавшись формулой (2), можем написать:

или

Таким образом, интегрированию исходной функции в пределах от до соответствует деление преобразованной функции на