10.12. Обобщенная преобразованная функция от периодической функции.

Пусть функция представляет собою париодичеекую функцию с периодом т. е.

Найдем прежде всего

Разбивая путь интегрирования на отрезки длиною можем написать:

Учитывая (1), получаем

причем

Для можем проделать совершенно аналогичные вычисления:

или

Рассматривая определяемые равенствами (2), (3) и (4), приходим к выводу, что

Таким образом, если периодическая функция, то является аналитическим продолжением функции и аналитическая функция в соответствующих областях плоскости обращается в

Следовательно, для периодической функции будет иметь силу теорема обращения, выражаемая формулой (9) [10.11].