10.13. Применение обобщенного преобразования Лапласа к нахождению периодического решения дифференциального уравнения.

Полученные выше формулыч могут быть использованы нахождения периодических решений Линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Метод получения этих решений проще всего показать на примере, вследствие чего мы и рассмотрим случай обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с по? стоянными коэффициентами.

В общем случае метод остается вполне аналогичным.

Пусть дано уравнение

причем есть периодическая функция от с периодом т. е.

Умножим уравнение (1) на проинтегрируем в пределах и и введем обозначения:

Проделаем следующие преобразования:

Так как мы ищем периодическое решение уравнения (1) с периодом то и а следовательно, можно написать:

Таким образом, после преобразования уравнение (1) приобретает вид:

откуда

Согласно формуле (5) [10.12] получаем:

Для того чтобы найти искомое следует воспользоваться формулой Можем написать:

Преобразованная функция как это видно из (5), зависит от начальных значений

Эти величины могут быть исключены из рассмотрения следующим образом.

Как видно из формулы определяется интегралом от функции переменного непрерывной при всех конечных значениях Следовательно, должно быть аналитической функцией от во всех точках плоскости комплексного переменного, за исключением бесконечно удаленной точки.

Отсюда следует, что корни знаменателя (4) не должны быть особыми точками как это видно из формулы (5), будет иметь особые точки только на мнимой оси, определяемые уравнением

где k — целое число (положительное или отрицательное) или нуль.

Учитывая сказанное, мы можем, не меняя значения интеграла (6), деформировать путь интегрирования таким образом, чтобы точки удовлетворяющие уравнению

оказались вне области, заключенной между линиями образующими в совокупности путь интегрирования

Сказанное выше иллюстрирует рис. 43.

В качестве примера на рис. 43, а указан выбор пути интегрирования для случая, когда

В этом случае можно в качестве принять прямую, проходящую параллельно мнимой оси так, чтобы остались левее этой прямой.

На рис. 43, б указан путь в случае

Теперь, обращаясь к формуле (5), видим, что второе слагаемое не имеет особых точек внутри контура интегрирования, а следовательно, интеграл от второго слагаемого равен нулю.

Таким образом, получаем:

где

Формула (7) дает окончательное решение задачи и не содержит (как это и должно быть) начальных значений искомой величины и ее производной.

Рис. 43.

Мы получили выражение для предполагая, что искомая величина удовлетворяет дифференциальному уравнению второго пбрядка; однако легко видеть, что формула (7) будет иметь силу для уравнений произвольного порядка с той лишь разницей, что будет иметь другое значен.

Для нахождения величины нет необходимости проделывать все приведенные выше выкладки. Можно поступать

подобно тому, как это делалось при изучении нестационарных процессов с нулевыми начальными условиями.

Пусть, например, имеется система дифференциальных уравнений, в которые входят искомые величины Заменим все искомые величины преобразованными функциями и свободные члены — их преобразованными функциями, а процессы дифференцирования и интегрирования — соответственно умножением и делением на

Полученную систему алгебраических уравнений решим относительно искомой преобразованной функции

Окончательное решение задачи дается формулой

причем путь интегрирования выбирается так, чтобы особые точки лежали вне области, заключенной между линиями .

Теперь остается сделать еще несколько замечаний о вычислении интеграла (8). Если мы воспользуемся теоремой о вычетах, то получим искомую величину представленной в виде ряда Фурье.

Вычисляя (8) иными способами, будем получать другие представления искомой величины. В частности, представляет особый интерес метод, когда интегралы по и 12 рассматриваются порознь с целью исключить вычисление вычетов в точках

В приведенном ниже примере иллюстрируется применение этого метода.

Мы предполагали в предыдущих рассуждениях, что особые точки, определяемые уравнением не совпадают с точками

Если совпадение имеет место, то уравнения вообще не имеют периодических решений (резонанс); исключение составляет случай, когда равно нулю при всех (собственные

колебания) или обращается в нуль при обращающем в нуль и определяемом (9). В этих случах характер процесса зависит от начальных значений искомых величин, вследствие чего эти значения не могут быть исключены.