ГЛАВА II. НАХОЖДЕНИЕ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ЛАПЛАСОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАННОЙ

Из приведенных выше примеров непосредственно видно, каким образом можно, располагая дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет искомая функция, найти преобразованную функцию.

Таким образом, мы теперь встречаемся с новой проблемой: разысканием исходной функции по заданной ее лапласовой преобразованной, или, как иногда говорят, разысканием оригинала по изображению.

Эта задача, очевидно, сводится к нахождению решения интегрального уравнения:

причем известная функция от а искомой является стоящая под знаком интеграла функция

Интегральное уравнение этого типа называется уравнением Лапласа, и решение его может быть найдено в общем виде. Однако мы сейчас не будем искать это общее решение (этим мы займемся в главе VII), а ограничимся рассмотрением одного специального случая. Полученные таким образом результаты будут лежать полностью в рамках элементарной теории, но позволят рассмотреть большую часть практически интересных задач.

2.1. Некоторые свойства решения интегрального уравнения Лапласа.

Сейчас мы сформулируем два свойства, которыми обладают функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа.

а) Пусть функция удовлетворяет уравнению Лапласа с правой частью имеет место равенство

и пусть а — некоторое число. Тогда, очевидно,

Таким образом, при умножении правой части на постоянное число, решение уравнения Лапласа также умножается на это число.

б) Пусть правая часть уравнения Лапласа представляет собою сумму известных функций от т. е.

Найдем решения уравнений:

Сложив эти равенства, получим

Отсюда заключаем, что

будет решением уравнения

Эти свойства рассматриваемого уравнения позволяют легко получить решение уравнения Лапласа для одного частного случая, охватывающего весьма широкий класс практических задач.