ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ

В настоящей главе мы будем рассматривать нестационарные процессы, протекающие в электрических цепях с сосредоточенными постоянными. Будем предполагать, что параметры рассматриваемых схем — индуктивности, емкости и сопротивления — будут постоянными величинами, т. е. не будут зависеть ни от времени, ни от электрического состояния системы. В этом случае, как известно, поведение системы будет описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и для интегрирования этих уравнений могут быть непосредственно использованы операционные методы.

Следует отметить, что преимущества операционных методов, по сравнению с классическими, заключаются, главным образом, в упрощении алгебраических выкладок, зачастую весьма громоздких, а также в единообразии приемов. Эти преимущества, естественно, проявляются тем полнее, чем сложнее рассматриваемая задача. С этой точки зрения материал настоящей главы не является характерным, и достоинства операционного метода "будут отчетливее видны в следующих главах, где мы обратимся к рассмотрению длинных линий.

3.1. Задачи с нулевыми начальными условиями.

Весьма часто приходится встречаться с такими задачами, когда к электрической цепи, а находящейся в состоянии покоя, в момент приключается электродвижущая сила. В этом случае, до момента включения э. д. с., токи во всех ветвях цепи и заряды (напряжения) всех конденсаторов системы равны нулю. Так как токи, протекающие через катушки самоиндукции, и

заряды конденсаторов должны меняться непрерывно, мы можем утверждать, что в такой системе будут иметь место нулевые начальные условия, т. е. заряды всех конденсаторов и токи во всех ветвях, обладающих индуктивностью, будут в начальный момент равны нулю.

К таким системам, конечно, применимы общие приемы составления преобразованной функции по дифференциальным уравнениям задачи, указанные в предыдущих главах. Однако здесь полезно сформулировать некоторые правила, вытекающие из общего метода, позволяющие во многих случаях составлять преобразованные функции, не выписывая в явной форме дифференциальные уравнения задачи.

3.11. Об операторных импедансах.

Рассмотрим сначала катушку самоиндукции являющуюся одним из элементов рассматриваемой схемы. Пусть ток в катушке равен а напряжение, приложенное к зажимам катушки, равно и. Тогда можем написать:

Умножая обе части этого равенства на и интегрируя в пределах , а также учитывая условие

получим

где обозначают преобразованные функции тока и напряжения.

Таким образом, преобразованный ток получается делением преобразованного напряжения на величину подобно тому, как в методе комплексных амплитуд (символическом методе) ток в катушке самоиндукции получается от деления напряжения на

Рассмотрим теперь конденсатор с емкостью С, через который проходит ток и пусть к конденсатору приложено

напряжение а. В этом случае, учитывая условия можем написать:

Умножая это равенство на интегрируя в пределах от до и учитывая формулу (3) [1.1], получим:

Здесь можно отметить, что преобразованный ток получается из преобразованного напряжения путем умножения последнего на что тоже напоминает соответствующее соотношение в методе комплексных амплитуд.

Для сопротивления можно без пояснений написать аналогичное равенство:

Мы введем теперь операторный импеданс цепи, который определим как отношение преобразованного напряжения, приложенного к зажимам системы, к преобразованному току на этих же зажимах.

Обозначим эту величину через и в тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, будем называть ее просто импедансом цепи.

Таким образом, импеданс катушки самоиндукции равен а импеданс конденсатора

3.12. О законах Кирхгофа и о правилах сложения импедансов.

Законы Кирхгофа формально сохраняют силу для преобразованных токов и напряжений. Этот почти очевидный результат может быть получен непосредственно, если "соотношения, выражающие законы Кирхгофа, умножить на и проинтегрировать в пределах и

Как следствие из этого обстоятельства вытекает, что при последовательном соединении элементов импедансы складываются, а при параллельном соединении величина, обратная результирующему импедансу, равна сумме обратных величин импедансов отдельных элементов.

Нужно в заключение еще раз отметить, что все эти результаты имеют силу для систем с нулевыми начальными условиями.

3.13. О составлении преобразованных функций по заданным дифференциальным уравнениям.

В некоторых случаях даже при нулевых начальных условиях удобно составлять преобразованные функции, пользуясь дифференциальными уравнениями задачи.

Если составить по обычным правилам, пользуясь законами Кирхгофа, уравнения для токов, протекающих по элементам цепи, то мы получим систему уравнений, в которую будут входить только искомые токи (напряжение на сопротивлении), их первые производные (напряжение на индуктивности) и интегралы от них в пределах от до (напряжение на конденсаторе).

Если применить к этим уравнениям общий метод составления преобразованной функции, описанный в [1.21], то мы придем к указанному в конце упомянутого параграфа правилу, которое сводится к замене функций, входящих в уравнения, преобразованными функциями, а также к замене операций дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на

Нужно отметить, что если уравнения задачи составлены таким образом, что в них входят производные от величин, не обращающихся в нуль то это правило, вообще говоря, теряет силу.

Так, например, если повысить порядок уравнения путем дифференцирования (что иногда делается с целью освобождения от интегралов), то указанное правило не может быть применено, хотя общие методы, учитывающие произвольные начальные значения функций, конечно, остаются в силе.