7.2. Теорема разложения.

Теорема разложения была нами ранее доказана для случая, когда преобразованная функция представляла собою рациональную дробь.

Для того чтобы обосновать применение этой теоремы к задачам другого типа и, в частности, к задачам, рассмотренным в этой книге, приведем доказательство для одного случая, который представляет весьма значительный практический интерес.

Предположим, что функция не имеет иных особых точек, кроме полюсов, т. е. является мероморфной функцией, и пусть, все полюсы этой функции будут первого порядка. Кроме того, согласно сказанному в [7.1], мы можем считать, что все особые точки лежат левее некоторой прямой проведенной в плоскости комплексного переменного (рис. 35). Правее этой прямой функция будет голоморфной и с возрастанием модуля стремится к нулю.

Теперь обозначим особые точки через и предположим, что нумерация полюсов происходит в порядке возрастания модуля т. е.

Проведем последовательность окружностей с центрами в начале координат, с радиусами соответственно так, чтобы

Предположим, кроме того, что окружности можно провести таким образом, чтобы при неограниченном возрастании номера окружности, или, что то же, с возрастанием функция на этой окружности стремилась к нулю равномерно относительно аргумента

Рис. 35.

Рассмотрим теперь интеграл при

взятый по контуру составленному из отрезка прямой и дуги окружности (окружность радиуса Согласно теореме о вычетах, можем написать:

здесь через обозначен вычет функции в точке

Если выберем достаточно большим, то сможем сделать интеграл, взятый по дуге сколь угодно малым, так как с увеличением значение функции на пути интегрирования стремится к нулю. По отношению к интегралам, взятым по отрезкам это очевидно, так как путь интегрирования остается конечным; в отношении интеграла, взятого по полуокружности это вытекает из леммы Жордана.

Отсюда мы заключаем, что при стремлении к бесконечности можно рассматривать интеграл как распространенный по всей бесконечной прямой Таким образом, можем написать:

а следовательно, согласно формулам Римана — Меллина, получим:

Если представлена как

где целые функции, то особыми точками будут корни уравнения

причем в нашем случае эти корни — простые.

Вычисляя обычными методами вычеты получаем:

и, применяя правило Лопиталя, находим:

Таким образом, формула (1) приобретает вид:

Это и есть обобщение формулы (4) [2,2] на случай мероморфных функций.

Дальнейшие преобразования не представляют труда, и мы окончательно получаем формулу разложения в следующей форме:

Эта формула представляет собою обобщение формулы причем здесь сохранены обозначения, принятые в формуле (3).