8.5. Примеры.

Рассмотрим простые примеры применения интеграла Фурье для вычисления устанавливающихся токов в электрических системах. Здесь преследуется цель

иллюстрировать методы составления преобразованных по Фурье функций, а не технику вычислений, которая в рассматриваемых случаях чрезвычайно проста.

1. Подключение напряжения вида ... к контуру, состоящему из последовательно соединенных катушки самоиндукции и сопротивления

К контуру, состоящему из последовательно соединенных индуктивности и сопротивления подключается при нулевых начальных условиях э. д. с.

Преобразованная (по Фурье) функция напряжения

Преобразованная функция тока имеет вид:

Применяя формулу (4) [8.2] и полагая в ней

получаем:

2. Разряд конденсатора в контуре

Пусть имеют место условия примера 1 [3.21]. Уравнение для тока имеет вид:

Применить преобразование Фурье к каждому члену этого уравнения нельзя, так как имеются слагаемые, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости.

Дифференцируя (1), получаем:

В уравнении (2) уже все слагаемые удовлетворяют условиям, при которых применимо преобразование Фурье, и мы можем умножить обе части уравнения на и проинтегрировать в пределах и Получаем:

Таким образом, уравнение для преобразованной функции приббретает вид:

а следовательно,

Применяя формулу (4) [8.2], приходим к искомому зультату.

Примечание. Можно было для получения формулы (3) не производить всех выкладок и воспользоваться полученным ранее выражением для лапласовой преобразованной, положив Следует отметить, что в тех случаях, когда в промежуточных выкладках встречаются затруднения, связанные с тем, что некоторые функции не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, можно произвести преобразование Лапласа и в конечном результате, на основании доказанного в [8.11], положить

Очевидно, что указанный прием не может быть применен, если сама искомая величина не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости»