3.14. Примеры.

1. Включение постоянной электродвижущей силы в контур

Пусть постоянная э. д. с. Е включается в момент в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки самоиндукции сопротивления и емкости С (рис. 1).

В начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора оавны нулю.

Рис. 1.

Согласно сказанному в [3.11] и можем написать операторный импеданс цепи в форме

Преобразованная э. д. с. будет

Разделив преобразованную э. д. с. на импеданс цепи, получим преобразованный ток т. е.

или

Обозначим через корни уравнения

Тогда можем написать:

где

На основании известной теоремы алгебры о разложении полинома на множители, получаем

и, следовательно, (2) приобретет вид:

Для нахождения искомого тока по известному преобразованному току воспользуемся формулой (4) [2.2], в которой положим:

Дифференцируя по найдем

и, следовательно:

Искомый ток выразится теперь следующим образом:

Воспользовавшись определением гиперболического синуса

окончательно напишем:

Если то формула (4) непосредственно пригодна для вычислений. Если же то оказывается мнимой величиной, и формула (4) нуждается в преобразовании.

Введем в этом случае обозначение

тогда

Учитывая, что

перепишем (4) в следующей форме:

В этом случае, как это видно из (5), в контуре появляются затухающие синусоидальные колебания с круговой частотой . В критическом случае, когда и результат может быть получен из (4) при стремлении к нулю.

Раскрывая неопределенность, легко находим

2. Включение постоянной электродвижущей силы в контур, состоящий из индуктивности и емкости, шунтированной сопротивлением

Индуктивность емкость С и сопротивление соединены согласно схеме, изображенной на рис. 2. В момент включается постоянная причем до включения э. д. с. в системе отсутствовали токи и заряды. Будем искать ток протекающий в катушке самоиндукции.

Рис. 2.

Импеданс схемы мы можем написать как сумму

где импеданс между точками

Учитывая, что одна из параллельных ветвей имеет импеданс другая — согласно правилу сложения импедансов при параллельном соединении можем написать

Следовательно,

Преобразованная э. д. с., согласно формуле (1) преды дущего примера, равна

и, следовательно,

Выражение, стоящее в скобках, можно преобразовать следующим образом:

где — корни уравнения

т. е.

где

Таким образом,

Для нахождения тока воспользуемся формулой (3) [2.21]:

положив в ней

Заметим сначала, что:

Так как произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, то

Теперь, обращаясь к можем написать:

и, аналогично,

Подставляя эти значения в формулу (1), получим

или

Учитывая, что

напишем:

и следовательно,

Эта формула удобна при При величина получается мнимой, и мы положим в этом случае

после чего получаем

3. Включение синусоидальной электродвижущей силы

Рассмотрим включение синусоидальной в контур, состоящий из индуктивности и сопротивления (рис. 3).

До момента включения цепи все точки и заряды равнялись нулю.

Согласно общему правилу, можем написать:

где преобразованное напряжение, т. е.

Рис. 3.

Принимая во внимание, что

напишем:

и, следовательно,

Для упрощения выкладок удобно разбить на два слагаемых, т. е. положить

где

и найти решения, соответствующие каждому слагаемому. При этом следует иметь в виду, что фактически достаточно произвести все выкладки для ибо для решение получается простой заменой .

Так как полное решение есть сумма решений, соответствующих оба решения будут комплексно сопряженными функциями, очевидно, достаточно для получения окончательного результата взять удвоенную вещественную часть от решения, соответствующего Таким образом, можем написать:

где — решение, соответствующее Преобразованная функция от

и, согласно формуле (4) [2.2]:

Представим теперь в показательной форме, т. е. напишем

где

после чего приобретет вид:

Взяв вещественную часть этого выражения и удвоив ее, получим окончательный результат:

4. Включение постоянной электродвижущей силы в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров, не содержащих емкости

Пусть постоянная э. д. с. Е включается в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров, изображенных на рис. 4. Включение производится при нулевых начальных условиях.

Рис. 4.

Дифференциальные уравненния задачи напишутся в следующей форме:

При переходе к уравнениям для преобразованных функций, согласно 13.131, мы можем заменить в дифференциальных уравнениях все исходные функции соответствующими им преобразованными, а операцию дифференцирования заменить умножением на

Следовательно:

Отсюда находим

или

Если ввести обозначения:

то можно переписать так:

Решая квадратное уравнение

находим

где

Теперь можем написать

Воспользовавшись теоремой разложения (см. формулу (3) [2.21]), находим:

или

Теперь произведем следующее преобразование:

так как произведение корней равно свободному члену квадратного уравнения. Таким образом,

Произведя алгебраические преобразования, приведем полученное выражение к окончательной форме:

5. Два связанных контура при малом затухании

Постоянная э. д. с. Е включается в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров (рис. 5).

Рис. 5.

Включение происходит при нулевых начальных условиях. Дифференциальные уравнения задачи имеют вид:

Переходя к преобразованным функциям, находим:

Решая эти уравнения относительна получим:

где

Если ввести обозначения:

то это выражение можно переписать так:

или

где и суть корни уравнения

Будем рассматривать в дальнейшем случай мало затухающих колебаний, т. е. будем считать, что . В этом случае следует предположить, что корни будут комплексными, причем вещественные части этих корней будут невелики по отношению к мнимым. В соответствии с этим напишем:

причем:

(см. скан)

Перейдем теперь к вычислению Для этой цели необходимо найти корни уравнения 4-й степени [уравнение (2)]. Так как общее рзшение этого уравнения представляется затруднительным, мы поступим следующим образом: найдем сначала рзшение уравнения, в котором отброшены малые слагаемые (содержащие ), а затем будем искать поправку.

Таким образом, найдем сначала решение уравнения

Здесь можем сразу написать:

Для вычисления второго приближения положим

где малое число (порядка или

Подставляя это выражение для в (2), разлагая по степеням и удерживая только члены первого порядка малости (т. е. пренебрегая высшими степенями и произведениями на и на получим:

Принимая во внимание, что удовлетворяет уравнению (5), можем написать:

Подставляя сюда найденные выше значения и произведя простые алгебраические преобразования, получим:

причем поправка соответствует соответствует

Таким образом, поправка оказалась вещественной и, следовательно, частоты колебаний определяются полученными выше формулами для характеризуют собою затухания.

Ранее мы обозначили вещественные части корней через — следовательно, теперь мы можем написать:

Полученные формулы (4), (6) и (7) дают решение поставленной задачи.

В дополнение заметим, что при малых сопротивлениях, как это видно из полученных результатов, частоты связи можно вычислять, не считаясь с наличием сопротивлений. В первом приближении сопротивления контуров вносят только затухание. Однако этот результат не всегда имеет место. При выводе формул (7) мы пренебрегали величинами, имеющими порядок малости более высокий, чем первый. Но если очень близко к и если очень мало (контуры имеют близкие частоты и слабо связаны), то такие пренебрежения делать нельзя, так как первый член разложения имеет второй порядок малости. В этом случае полученные результаты не будут соответствовать действительности.

Ввиду того, что с последним случаем приходится встречаться на практике, мы приведем вкратце вычисление при условии, что собственные частоты контуров близки друг к другу и связь между контурами мала.

В соответствии со сделанными предположениями можем написать

где малая величина (порядка а) и, кроме того, коэффициент связи также мал (порядка а).

Обращаясь теперь к уравнению (2) и отбрасывая сначала все малые величины, получаем для первого приближения

причем здесь для упрощения записи обозначено через

Из (8) непосредственно следует, что

Теперь положим причем будем считать величиной порядка а. Подставив в уравнение (2) и произведя разложение по степеням з, можно легко убедиться, что коэффициент при в первой степени будет порядка а, т. е. разложение будет начинаться с членов порядка

Учитывай это обстоятельство, мы не можем уже пренебрегать в уравнении членами порядка как это делалось раньше, и при достаточно малых можем пренебречь только величинами порядка и более высокого.

Произведя соответствующие выкладки и учитывая (9), получим для следующее уравнение:

Решение этого уравнения имеет вид:

В соответствии с двумя значениями и двумя знаками перед радикалом получаем четыре значения которым соответствуют две пары комплексно сопряженных значений

Легко видеть, что значения будут, вообще говоря, комплексными и, следовательно, сопротивление контуров может в первом приближении влиять затухание и на частоту.

В частности, если оба контура настроены на одинаковую частоту то

Отсюда видно, что при условии

вещественно, и поправка на частоту отсутствует.

В том случае, когда имеет место неравенство

комплексное, и сопротивление контуров даже в первом приближении влияет на частоту колебаний.