8.2 Применение одностороннего преобразования Фурье к исследованию нестационарных явлений в электрических цепях.

При изучении нестационарных процессов в линейных электрических цепях можно воспользоваться преобразованием Фурье.

Нужно, однако, отметить, что применение преобразования Фурье связано с большими ограничениями, чем применение преобразования Лапласа, вытекающими из условия абсолютной интегрируемости рассматриваемых функций.

Применяя интеграл Фурье к задачам указанного типа, мы поступаем почти так же, как это делалось раньше при преобразовании Лапласа.

Дифференциальное уравнение задачи (или систему уравнений) умножаем на и интегрируем в пределах и Интегралы, содержащие производные от искомых функций, преобразуем так:

если предположить, что

Преобразованная функция от интеграла находится следующим образом:

если предположить, что

Иначе говоря, мы можем воспользоваться формулами главы I, заменив в них через и положив

Все остальные вычисления производятся так, как это делалось в случае преобразования Лапласа в [1.2] главы . В результате мы получаем по дифференциальному или интегро-дифференциальному уравнению задачи.

Следует особо отметить случай нулевых начальных условий, когда в рассматриваемой электрической цепи в начальный момент времени отсутствовали токи и заряды. Здесь мы можем повторить все рассуждения, приведенные в начале главы III, причем вместо операторных импедансов войдут импедансы Иначе говоря, если на электрическую цепь действует то для преобразованного по Фурье тока (спектральной характеристики тока) получим выражение

причем здесь соответственно преобразованные по Фурье функции тока обычный

импеданс цепи, хорошо известный из теории переменных токов.

Таким образом, мы можем по дифференциальному уравнению и по начальным условиям составить спектральную характеристику искомой величины. Задача о нахождении функции по ее спектральной характеристике окончательно решается применением формулы (1) [8.11]:

где искомая функция, а ее спектральная характеристика.

Если спектральная характеристика представляет собою рациональную дробь, т. е.

полиномы относительно причем степень полинома выше степени кроме того, уравнение

имеет только простые корни, то можно написать следующую формулу:

причем здесь имеет смысл производной от В по при значении Суммирование ведется по всем корням уравнения (3).

Эта формула мбжет быть получена из выражения (2); однако, учитывая отмеченную в предыдущем параграфе связь между спектральной характеристикой и лапласовой преобразованной, мы можем непосредственно написать формулу (4) на основании полученной ранее формулы положив в последней

и заменив индекс суммирования индексом

Формула (4) может быть распространена и на тот случай, когда представляет собой мероморфную функцию от подобно тому, как это делалось ранее для преобразования Лапласа.