8.3. О связи между вещественной и мнимой частями спектральной характеристики в случае одностороннего преобразования Фурье.

Как указывалось выше, спектральная характеристика функции подчиняется известным ограничениям. В последнее время в различных областях электротехники появилась потребность в построении электрических цепей по заданным частотным свойствам. Однако задание частотных свойств электрической цепи равносильно заданию спектральной характеристики некоторой функции, а следовательно, также не свободно от ограничений.

В настоящем параграфе мы не будем рассматривать задачу о построении схем по данным характеристикам, а ограничимся установлением связи между вещественной и мнимой частями спектральной функции при одностороннем преобразовании Фурье, которую всегда следует иметь в виду при решении упомянутой задачи.

Пусть

Согласно доказанному выше, есть предел, к которому стремится лапласова преобразованная функция когда вещественная часть стремится к нулю, т. е.

Следовательно,

Рассмотрим теперь интеграл

взятый в плоскости комплексного переменного по пути, изображенному на рис. 39 и состоящему из отрезков прямой и дуги окружности радиуса и малой полуокружности радиуса огибающей точку

Рис. 39.

Так как в правой полуплоскости особых точек не имеет, интеграл должен быть равен нулю, и мы можем написать:

Согласно доказанному в [7.1], стремится к нулю при увеличении по модулю и при условии Тогда имеем следующую оценку:

где наибольшее значение на дуге

Если при стремится к нулю, то рассматриваемый интеграл также стремится к нулю.

Таким образом, можем написать:

Последний интеграл с точностью до величин порядка может быть вычислен так:

Устремляя к бесконечности и к нулю, легко приходим к выводу, что

причем интеграл берется в смысле главного значения Коши,

Так как вещественные функции и интеграл берется по вещественным значениям в нем легко отделяется вещественная часть от мнимой.

Сравнивая левую часть последнего равенства с правой легко находим

Этим формулам, впрочем, можно придать несколько иную форму. Действительно, интеграл, входящий в первое соотношение, может быть преобразован так:

Меняя в первом интеграле и учитывая, что получаем:

а следовательно,

или

Совершенно аналогично второе соотношение приобретает вид:

Формулы (1), (2) и (3) дают искомую связь между вещественной и мнимой частями спектральной характеристики при одностороннем преобразовании Фурье.