ГЛАВА V. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПОЧЕК

В теории электрических фильтров и во многих других задачах электротехники и радиотехники приходится сталкиваться с так называемыми цепными схемами или электрическими цепочками. Изучение переходных процессов в подобных схемах представляет значительный интерес, вследствие чего мы рассмотрим в настоящей главе применение операционных методов к задачам этого типа.

Под электрической цепочкой мы будем в дальнейшем понимать совокупность четырехполюсников, соединенных друг с другом по каскадной схеме (рис. 19), т. е. так, что выходные зажимы одного четырехполюсника присоединяются к входным зажимам другого.

Мы ограничимся рассмотрением однородных пассивных цепных схем, т. е. будем считать, что цепочка составлена из одинаковых звеньев, внутри которых не действуют сторонние электродвижущие силы.

Кроме того, мы предположим, что каждый четырехполюсник представляет собою систему, состоящую из сосредоточенных сопротивлений, емкостей и индуктивностей, не зависящих от времени. Иначе говоря, мы будем предполагать нашу систему линейной.

5.1. Основные соотношения для четырехполюсников при нулевых начальных условиях.

При нулевых начальных условиях можно для четырехполюсников и цепочек написать общие соотношения, подобные уравнениям, которые пишутся в аналогичных случаях при установившемся режиме (при синусоидальном токе). Мы начнем изложение с этих общих соотношений и рассмотрим прежде всего свойства четырехполюсников.

5.11. Основные соотношения для четырехполюсников.

Пусть четырехполюсник, обладающий указанными выше свойствами, находится под действием двух э. д. с. приложенных к его зажимам. Левым и правым зажимам мы будем приписывать, соответственно, индексы 1 и 2, а положительные направления токов и э. д. с. выбирать согласно чертежу (рис. 18). Предположим, что внутренняя схема четырехполюсника состоит из независимых контуров и пусть эти контуры выбраны и пронумерованы так, что входит в Первый контур, а во второй, во всех же остальных контурах сторонние э. д. с. равны нулю.

Рис. 18.

В самом общем случае поведение этой схемы описывается системой уравнений

причем при

коэффициенты, характеризующие индуктивную, омическую и емкостную связь между контурами. Эти коэффициенты, как известно, удовлетворяют условиям взаимности:

Применим теперь к уравнениям (преобразование Лапласа. Так как начальные условия нулевые, при можем написать преобразованные уравнения в следующей форме:

где

преобразованные функции э. д. с. и тока. Кроме того, отметим, что согласно предыдущему

Соотношения можно рассматривать как систему из уравнений с неизвестными из которой можно, в частности, определить

Принимая во внимание, что решение системы (2) должно быть лингйной функцией можем написать:

где величины, зависящие от которые могут быть выражены через посредством определителей.

Перейдем теперь от внешних приложенных к зажимам четырехполюсника, к напряжениям. Обычно под напряжением на зажимах четырехполюсника подразумевается разность потенциалов между верхним и нижним зажимами (рис. 18). Обозначая через и соответственно напряжения на 7 и 2 зажимах, можем написать

Таким образом, уравнения (3) перепишутся так:

Из этих уравнений можно найти связь между значениями тока и напряжения на входе и теми же величинами на выходе ( Решая уравнения (4) относительно получим:

причем связаны с соотношениями: а

Очевидно, что коэффициенты безразмерные величины, имеют, соответственно, размерности проводимости и сопротивления.

Соотношения (5) мы будем называть уравнениями четырехполюсника и положим их в основу дальнейших рассуждений.

5.111. Теорема взаимности.

Теорема взаимности излагается в учебниках по теории переменных токов обычно для случая установившегося режима, при синусоидальных токах. Приведем сейчас доказательство этой теоремы, основанное на равенствах (2) [6.1], пригодное для нестационарных режимов, при произвольной форме приложенной э. д. с.

Предположим сначала, что к зажимам 1 четырехполюсника, изображенного на рис. 18, приложена э. д. с. е, а зажимы 2 замкнуты накоротко.

Обозначая возникающие в контурах токи через можем на основании (2) [5.11] написать:

причем

Теперь допустим, что э. д. с. е приложена к зажимам 2, а зажимы 1 замкнуты накоротко. Обозначив в этом случае токи, текущие в контурах, через можем написать:

причем

Умножим каждое из уравнений (1) на и просуммируем по всем очевидно, получим:

Умножая (2) на и суммируя по всем найдем:

Принимая во внимание, что сумма не меняется при переименовании индекса, по которому ведется суммйрование, переставим в (4) местами индексы и переменим порядок суммирования, тогда получим:

Учитывая, что можем теперь написать:

Сопоставляя равенства (3) и (5) друг с другом, непосредственно приходим к соотношению

В предыдущих рассуждениях предполагалось, как это легко видеть из чертежа, что выбранные положительные направления для тока и э. д. с. в первом контуре совпадали, а во втором — были противоположны. Если условиться переносить э. д. с. из одного контура в другой всегда так, чтобы при переносе сохранялось соответствие между выбранными положительными направлениями для токов и э. д. с., то равенство (6) приобретает вид:

Таким образом, мы приходим к выводу, что э. д. с., включаемая во второй контур, вызывает в первом контуре ток равный току появляющемуся во втором контуре, если ту же э. д. с. включить в первый контур.

Эта теорема, как видно из предыдущих рассуждений, имеет силу при нулевых начальных условиях.