9.31. Случай асинхронного воздействия.

В этом случае частота не близка ни к одной из частот системы Рассмотрим сначала выражение

Можем написать:

Под знаком последнего интеграла содержится производная от медленно меняющейся функции, т. е. величина малая. Пренебрегая этим интегралом, можем написать:

Проделав аналогичные выкладки с остальными членами, пренебрегая под знаком интеграла (3) и выполнив алгебраические преобразования, находим:

Для нахождения огибающих определяем сначала вещественную часть по формуле:

После несложных выкладок получаем:

Так как, согласно определению, огибающая колебания с частотою равна удвоенной величине коэффициента при получаем для этой огибающей следующее выражение:

Кроме колебаний с частотами в выражении для тока появится дополнительно колебание с частотою вынуждающей силы, имеющее комплексной амплитудой величину

Последнему выражению можно придать простой смысл.

Для этой цели обратимся к формуле (5), положив в ней

Учитывая, что с увеличением вследствие затухания стремится к нулю, приходим к выводу, что

есть не что иное, как установившийся ток, вызванный в системе э. д. с. . Обозначив этот ток через получаем:

Выражение для огибающих упрощается в том случае, когда вещественно; тогда

Примечание. При выводе формул настоящего параграфа мы пренебрегли слагаемыми, содержащими под знаком интеграла производные от медленно меняющихся функций, т. е. малые величины. Для того чтобы обосновать допустимость подобных пренебрежений и установить, в каких случаях это можно делать, рассмотрим интеграл вида

Функция вообще говоря, комплексная и на всем пути интегрирования предполагается малой.

Отделив вещественную часть от мнимой, можем написать:

вещественные функции и также малые на всем пути интегрирования.

Можем теперь представить в следующей форме:

Рассмотрим сначала первый интеграл. Считая монотонной функцией во всем интервале интегрирования, на основании второй теоремы о среднем, можем написать:

и, следовательно,

Из полученного выражения следует, что будет сколь угодно малой при любых если достаточно мала на всем пути интегрирования, причем не должно быть малым числом.

Оценка остальных интегралов производится таким же путем и приводит к аналогичным результатам.

Если не являются монотонными функциями, а имеют на пути интегрирования один или несколько максимумов или минимумов, то весь интервал разбивается на участки и рассуждения проводятся подобно предыдущему.

Полученные результаты непосредственно можно применить к предыдущим выкладкам. Действительно, мы пренебрегли интегралами вида

Учитывая, что и будут величинами малыми, мы полагаем равным и

равным

Полученная выше оценка (10) показывает, что рассматриваемые интегралы будут сколь угодно малы, если достаточно медленно меняются и если частота не близка ни к одной из частбт