10.11. Обобщенный интеграл Фурье.

Одним из условий применимости интеграла Фурье является условие абсолютной интегрируемости. Эточ условие сильно ограничивает класс функций, к которым теорема Фурье может быть применена, и, в частности, к периодическим функциям эту теорему непосредственно применить нельзя. Для того чтобы расширить класс функций, которые мы будем рассматривать, целесообразно обратиться к обобщенному интегралу Фурье.

Пусть функция определена в интервале — и удовлетворяет условиям Дирихле в каждом конечном интервале.

Выберем теперь таким образом, чтобы функция была абсолютно интегрируема в пределах Определив как

можем на основании теоремы Фурье написать:

Аналогично, выбирая таким образом, чтобы была абсолютно интегрируема в пределах — и введя

можем написать:

Складывая теперь (2) и (4), получаем:

На основании сделанного вывода мы можем заключить, что если определяются соотношениями (1) и (3), то может быть найдено посредством формулы (5). Естественно считать эти формулы обобщением интегралов Фурье.

Произведем теперь замену переменных интегрирования в (5), положив в первом интеграле

и во втором

и введем обозначения

Теперь можем написать:

Первый интеграл в (6) берется по бесконечной прямой, параллельной мнимой оси, лежащей на расстоянии вправо, а второй интеграл — по такой же прямой, но лежащей на расстоянии влево от мнимой оси.

Функции теперь будут определяться следующим образом:

причем в

Естественно считать формулы (7) и (8) обобщением преобразования Лапласа, а соотношение (6) представляет собою обобщение формулы обращения Римана — Меллина. Полезно отметить, что выбор величин и за остается в значительной мере произвольным, необходимо только обеспечить условия абсолютной интегрируемости, оговоренные

в начале настоящего параграфа. Если и будут наименьшие (по абсолютной величине) значения обеспечивающие соблюдение условий абсолютной интегрируемости, то очевидно, что эти условия будут обеспечены для всех

Одновременно при интегралы в (7) и (8) будут существовать, а следовательно, определено по» средством (7) во всей части плоскости комплексного переменного при соответственно, — для всех при условии

Обратимся теперь к специальному случаю, когда каждая из функций определяемых соотношениями (7) и (8), является аналитическим продолжением другой.

Иначе говоря, образуют в плоскости комплексного переменного одну аналитическую функцию

В этом случае формула (6) может быть написана в виде:

Рис. 42.

Путь интегрирования выбирается согласно рис. 42 и состоит из двух прямых параллельных мнимой оси, причем проходит на расстоянии вправо от оси, а расстоянии — влево от оси.