7.3. Задачи, приводящие к преобразованным функциям, имеющим точки разветвления.

Во всех предыдущих главах мы рассматривали задачи, которые решались непосредственным применением теоремы разложения или, в крайнем случае, с дополнительным привлечением теоремы свертывания и теоремы запаздывания. Однако на практике приходится иногда сталкиваться с такими задачами, которые не могут быть решены при помощи теоремы разложения и требуют непосредственного применения формул обращения. Это в первую очередь относится к случаю, когда преобразованная функция не является функцией мероморфной и обладает особенностями в виде точек разветвления.

Здесь нужно отметить одно существенное обстоятельство, которое весьма полезно иметь в виду.

При решении самых разнообразных задач, связанных с включением постоянного и синусоидального напряжений в длинную линию, цепную схему или систему электрических контуров, преобразованные функции, определяющие токи и напряжения в отдельных точках рассматриваемых систем, обычно представляют собою мероморфные функции, если только эти линии и цепочки имеют конечную длину или конечное число звеньев, соответственно.

В системах, обладающих бесконечной протяженностью, когда начинают фигурировать условия в бесконечности, весьма часто преобразованные функции делаются неоднозначными.

Таким образом, появление неоднозначных преобразованных функций, применительно к теории длинных линий и электрических цепочек, как правило, связано с введением бесконечно длинной линии или цепочки.

Отсюда непосредственно видно, что теорема разложения, положенная нами в основу предыдущего, является весьма

мощным и универсальным аппаратом для изучения нестационарных явлений и что задачи, при рассмотрении которых эта теорема неприменима, в известном смысле, являются исключением.

Однако при решении задач практически приходится довольно часто прибегать к представлениям о бесконечных линиях и, как следствие, встречаться со случаями, когда теорема разложения непосредственно не может быть применена и необходимо использовать формулы обращения Римана — Меллина.

Многочисленные задачи, выходящие за рамки нестационарных явлений в электрических цепях, как, например, задачи, относящиеся к теории электромагнитного поля, задачи теории теплопроводности и многие другие, приводят к преобразованным функциям, требующим применения общих методов и не позволяющим ограничить рассмотрение теоремой разложения.

Приводимые ниже примеры иллюстрируют применение формул обращения Римана — Меллина к задачам, где мы встречаемся с неоднозначными функциями.