8.11. Одностороннее преобразование Фурье и его связь с преобразованием Лапласа.

Рассмотрим специальный случай преобразования Фурье, имеющий особенно большое значение для изучения нестационарных явлений в электрических цепях.

Предположим, что рассматриваемая функция обращается в нуль при . В этом случае, формулы (2) и (3) предыдущего параграфа приобретут следующий вид:

Формулу (2) называют односторонним преобразованием Фурье. Полученный результат следует понимать в следующем смысле.

Если функция удовлетворяет условиям Дирихле во всяком конечном интервале, заключенном в пределах абсолютно интегрируема в том же интервале, а определяется соотношением (2), то интеграл, стоящий в правой

части равенства (1), равен при и равен нулю при При формула (1) дает значение

причем стремится к нулю со стороны положительных значений.

Следует отметить, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Нельзя утверждать, что, выбрав некое подставив в (1) и найдя мы можем посредством формулы (2) получить вновь Может оказаться, что найденное не будет удовлетворять условиям применимости теоремы Фурье или интеграл (1) не будет равен нулю при

Таким образом, не может быть произвольной, а должна удовлетворять некоторым условиям, которые позволяют установить связь, как это будет показано дальше, между вещественной и мнимой частями

Докажем теперь одну теорему, которая будет нам полезна в дальнейшем и укажет связь между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье.

Пусть

и

причем функция в каждом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема в пределах тогда

Для доказательства составим разность

Выбрав некоторое можем написать:

Вследствие абсолютной интегрируемости функции мы можем при любом сколь угодно малом положительном выбрать настолько большим, что

Для первого интеграла имеем оценку:

где наибольшее значение функции в интервале

Таким образом можем написать:

Устремляя а к нулю, находим:

Так как может быть выбран сколь угодно малым, то заключаем, что имеет силу равенство (3).

Таким образом, можем рассматривать преобразованную по Фурье функцию от исходной функции как предел, к которому стремится преобразованная по Лапласу функция от той же исходной функции при стремлении вещественной части к нулю. Иначе говоря, если в подставим вместо то получим функцию, которая будет равна если, конечно, существует. Так, например, если то

Однако, если то а не существует, так как не является функцией, абсолютно интегрируемой в пределах и