10.4. Примеры.

1. Действие пилообразной электродвижущей силы на контур, состоящий из катушки самоиндукции и сопротивления

Пусть на контур, состоящий из последовательно соединенных индуктивности и сопротивления изображенный на рис. 44, а, действует э. д. с., представляющая собою периодически повторяющиеся треугольные импульсы (рис. 44, б).

Пусть период э. д. с. будет и пусть наибольшее значение, которого достигает будет равно

Рис. 44.

В интервале функция представится аналитически посредством формулы

а за пределами этого интервала продолжается периодически, т. е. согласно соотношению

Вудем искать периодический ток в контуре (установившийся режим), вызванный действием Преобразованная функция тока

Найдем теперь преобразованное напряжение

Таким образом, на основании формулы (8) [10.13] можем написать:

Формула дает решение задачи в виде интервала, взятого по пути образованному двумя прямыми, параллельными мнимой оси, выбранными так, что точка -находится вне контура интегрирования. Подинтегральная функция внутри контура имеет особые точки где (точка является простым полюсом).

Вычисляя интеграл по теореме о вычетах, находим;

причем

Выражение (2) дает решение задачи в форме ряда Фурье, которое легко можно получить классическим приемом. Сейчас мы вычислим интеграл (1) другим способом и получим решение задачи в иной форме.

Прежде всего разобьем интеграл (1) на две части, положив

Таким образом,

Переходя к вычислению замечаем, что внутри контура интегрирования имеется только одна особая точка (полюс второго порядка).

Воспользовавшись теоремой о вычетах, получаем;

Положим теперь

где

и -части пути интегрирования в соответствии с данным ранее определением.

Можно легко убедиться, что интеграл взятый по пути равен нулю, если

Для этой цели можем воспользоваться обычным способом. Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка пути и дуги окружности радиуса проведенной в правой полуплоскости и имеющей центр в начале координат, причем

Функция

будет стремиться к нулю на окружности при неограниченном возрастании т. е. при

Рассмотрим теперь интеграл от функции, входящей в взятый по указанному выше контуру.

Ввиду того, что лежит правее мнимой оси, внутри контура подинтегральная функция особых точек не имеет и интеграл, следовательно, равен нулю. Отсюда, учитывая, что устремляя к бесконечности и воспользовавшись леммой Жордана, легко находим, что

Переходя к вычислению построим контур, подобный предыдущему, но только проведем дугу окружности в левой полуплоскости. Принимая во внимание, что функция

стремится к нулю на окружностях при приходим к выводу, что интеграл равен взятому со знаком минус вычету подинтегральной функции в точке Произведя соответствующие вычисления, легко получаем:

Теперь мы можем написать выражение для силы тока, протекающего в цепи,

где

Формула (6) дает выражение I, пригодное для интервала За пределы этого интервала функция продолжается периодически.

2. Пример, иллюстрирующий применение формул В. А. Фока

В качестве примера, иллюстрирующего применение приведенных выше формул В. А. Фока рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется линейная электрическая система (четырехполюсник, замкнутый на нагрузку), для которой известна

переходная функция (проводимость) связывающая ток на выходе с напряжением на входе. Требуется определить, какую необходимо приложить к входным зажимам для того, чтобы на выходе получить заданный ток Воспользовавшись формулой (1) [6.14], можем написать:

Интегрируя это равенство в пределах и полагая

получаем:

Таким образом, мы приходим к интегральному уравнению первого рода рассмотренного выше типа. На основании формулы (6) [10.2] мы можем написать:

или, учитывая, что

находим

Окончательное решение получим, найдя исходную функцию по преобразованной функции воспользовавшись одной из приведенных выше формул.