ГЛАВА VII. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ РИМАНА — МЕЛЛИНА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

В предыдущих главах были рассмотрены различные методы, Ьозволяющи получать исходные функции по заданным преобразованным функциям. Эти методы позволили рассмотреть значительное количество задач, относящихся к нестационарным явлениям в электрических системах.

Всё предыдущее изложение характеризовалось известной элементарностью и не предполагало у читателя знания теории функций комплексного переменного. Однако, как нетрудно видеть, приведенные выше методы не обладают достаточной общностью и содержат недоказанные положения. Так, например, доказав теорему разложения для тех случаев, когда преобразованная функция представляет собою рациональную дробь, мы в разделе длинных линий применили эту теорему к преобразованным функциям, имеющим вид трансцендентных функций. Очевидно, что применение теоремы разложения к последнему случаю нуждается в отдельном доказательстве, кроме того, должны быть сформулированы условия, при которых эта теорема имеет силу.

Целью настоящей главы является изложение более общих и более строгих методов решения интегрального, уравнения Лапласа. Здесь будут даны формулы обращения Римана — Меллина, позволяющие находить исходные функции по заданным преобразованным функциям, имеющие силу для весьма широкого класса задач. На основе этих формул можно легко получить условия, при которых имеет силу теорема разложения и, таким образом, сделать изложение предыдущих глав более обоснованным.

Нужно отметить, что значение формул обращения Римана — Меллина не ограничивается возможностью дать строгое доказательство теоремы разложения. В тех случаях, когда изложенные в предыдущих главах методы оказываются неудобными или несостоятельными, формулы Римана — Меллина выступают на первый план.

В отличие от предыдущих глав, будем предполагать теперь, что читатель знаком с основными положениями теории функций комплексного переменного, и будем вести изложение на базе последней.