ДОПОЛНЕНИЕ. О ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЯХ ДЛИННОЙ ЛИНИИ В СЛУЧАЕ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ

В приведенных ранее задачах мы неоднократно встречались с решениями уравнений длинной линии, имевшими конечные разрывы. Очевидно, что в подобных случаях применявшиеся методы нуждаются в дополнительном обосновании. Действительно, в точках разрыва функции (ток и напряжение) сами дифференциальные уравнения линии теряют смысл, ибо в этих точках не существует производной. Помимо этого, при переходе к преобразованным функциям были использованы формулы интегрирования по частям и дифференцирования под знаком интеграла, теряющие силу в случае разрывных функций. В настоящем Дополнении мы остановимся более подробно на этих вопросах и покажем, что преобразованные уравнения остаются в силе и в этом случае.

Рассмотрим на линии фиксированную точку с координатой и предположим, что в этой точке ток и напряжение представляют собою кусочно-непрерывные функции рремени, имеющие конечные разрывы в моменты времени . В этом случае уравнения:

будут иметь силу для всех значений за исключением точек разрыва.

Выберем небольшой участок линии длиною Да: в окрестности точки и предположим, что точка разрыва перемещается вдоль участка со скоростью За время пробега волны (точки разрыва) через участок в него будет внесено количество электричества, равное скачку тока, умноженному на время пробега волны через участок. На основании закона сохранения

количества электричества можем написать:

или

причем под подразумеваются соответственно скачки тока и напряжения.

Применим теперь к тому же участку линии закон индукции. Изменение магнитного потока в единицу времени, связанного с участком равно Принимая во внимание, что в течение всего времени пробега волны по участку равно разности напряжений в начале и в конце участка, можем написать:

Из соотношений (1) и (2) непосредственно следует, что скорость движения точки разрыва постоянна и равна

Переходя к преобразованным уравнениям, рассмотрим сначала выражение:

Дифференцируя интеграл по х и учитывая, что есть функция от можем написать:

(см. скан)

На основании условия (2) последняя сумма обращается в нуль, и окончательно получаем:

Уравнение

преобразуется аналогичным способом, после чего получается

Уравнения (3) и (4) совпадают с полученными ранее прообразованными уравнениями длинной линии, а следовательно, подтверждают справедливость вычислений, проводившихся ранее при рассмотрении ряда задач.

Легко видеть, что приведенное доказательство остается в силе также и для случая линии с потерями.

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ФУНКЦИЙ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)