6.2. Примеры.

В настоящем параграфе приведем несколько примеров, имеющих целью иллюстрировать применение полученных выше формул. Рассмотрим, прежде всего, простые примеры, относящиеся к цепям с сосредоточенными постоянными, а затем несколько подробнее остановимся на переходных процессах в длинных линиях. Здесь укажем прием, посредством которого может быть получено решение задачи

о включении длинной линии без потерь в форме блуждающих волн. Это решение, как известно, может быть получено классическим методом (метод Д Аламбера).

1. Включение постоянной электродвижущей силы в цепь, состоящую из двух индуктивностей и сопротивления

Постоянная э. д. с. Е включается в цепь, изображенную на рис. 25. Включение производится при нулевых начальных условиях.

Рис. 25.

Согласно общим правилам, операционный импеданс цепи можем написать в следующей форме:

или

Следовательно, преобразованный ток

Непосредственное применение теоремы разложения к этой преобразованной функции оказывается невозможным, так как в знаменателе имеется кратный корень

Будем рассматривать как произведение двух функций, т. е. положим

где

Обе функции не имеют кратных корней и к ним могут быть применены методы, изложенные в предыдущих главах. Прежде всего заметим, что

Для того, чтобы найти воспользуемся теоремой разложения (уравнение (3) [2.21]):

полагая:

Уравнение

имеет один корень

После простых преобразований получаем:

Согласно теореме свертывания, можем написать:

или

2. Включение постоянной электродвижущей силы в контур при ...

В [3.14] (пример 1) мы рассмотрели задачу о включении постоянной э. д. с. в контур, состоящий из индуктивности емкости С, сопротивления Полученное решение позволило рассмотреть все три случая: Последний случай мы получили из общей формулы, путем предельного перехода при стремлении к нулю. Для иллюстрации применения теоремы свертывания рассмотрим случай

непосредственно, положив сразу в выражении для преобразованной функции тока

Преобразованный ток определяется формулой (3) примера 1 [3.14]:

причем

где

Полагая находим, что следовательно,

Таким образом,

Как видно из полученной формулы, знаменатель преобразованной функции имеет только один корень, но не простой, а кратный. Следовательно, непосредственное применение теоремы разложения невозможно.

Прежде всего отметим, что

Обращаясь к формуле (1) [6.13]

положим в ней

Тогда получим

или

3. Включение электродвижущей силы вида ... в контур, состоящий из Индуктивности и сопротивления

Пусть в контур, изображенный на рис. 26, включается э. д. с. вида

Будем искать силу тока в контуре для чего воспользуемся специальной формой теоремы свертывания.

Рис. 26.

При включении постоянной э. д. с., равной единице, в контуре возникает ток, численно выражаемый формулой

Воспользовавшись формулой

можем написать:

Вычисляя интеграл, находим

где для краткости обозначено через

Примечание. Если положить в этой формуле и отделить мнимую часть, то получим выражение для тока, появляющегося в контуре при включении э. д. с.: 7

Опуская выкладки, приведем результат:

4. Бесконечно длинная линия без потерь

Пусть имеется длинная линия, изображенная на рис. 27. В начале линии в момент включается напряжение Линия считается бесконечно длинной, т. е. неограниченной в сторону положительных .V, и лишенной потерь. Включение производится при нулевых начальных условиях.

Рис. 27.

Как было показано в [4.2] [уравнение (3)], преобразованные напряжение и ток удовлетворяют следующим уравнениям:

Дифференцируя первое уравнение по и подставляя — из второго уравнения, получим

Общий интеграл этого уравнения, как известно, может быть написан в следующей форме:

где

Для определения констант необходимо прибегнуть к условиям на концах линии (граничным условиям).

В начале линии напряжение и должно равняться приложенной э. д. с. в любой момент времени а следовательно,

должно соблюдаться равенство между соответствующими преобразованными функциями. Таким образом,

Второе условие вытекает из следующего физического требования.

При увеличении т. е. при удалении от источника э. д. с., напряжение в линии не должно неограниченно возрастать. Из физических соображений ясно, что при достаточном удалении от источника (при фиксированном мы обнаружим сколь угодно малые напряжения в линии. Во всяком случае, при стремлении к бесконечности, ни ток, ни напряжение не могут неограниченно расти. Это соображение приводит также к условию, налагаемому на преобразованные функции. Действительно, преобразованное напряжение определяется как

Если ограничено, то при условии, что вещественная часть положительна, интеграл, стоящий в правой части этого равенства, также ограничен, а если при возрастании стремится к нулю, то и также будет стремиться к нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что преобразованная функция напряжения при возрастании и при условии должна стремиться к нулю или, по крайней мере, не должна неограниченно расти.

Теперь необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: функция при неограниченно растет при а функция стремится к нулю при тех же условиях. Следовательно, обращаясь к формуле (2), мы можем утверждать, что удовлетворить поставленному выше требованию можно только, положив Таким образом, мы должны написать:

Условие (3) приводит нас сразу к заключению, что

и мы окончательно получаем

Воспользовавшись первым из уравнений (1), мы легко находим

где

Полученные выражения для преобразованных функций позволяют легко перейти к исходным функциям. Воспользуемся для этой цели теоремой запаздывания [6.11]. Полагая получим, что:

Таким образом, напряжение в точке линии с координатой будет равно нулю пока и будет равно напряжению в начале линии, но запаздывающему на время при

Этот результат можно трактовать как движение волны напряжения неизменной формы в направлении положительных со скоростью

Аналогичный результат получается, очевидно, и для тока, причем в любой точке и в любой момент времени имеет силу соотношение .

В частном случае, если в начале линии действует постоянная э. д. с. , то напряжение в точке с координатой равно нулю при равно при

Этот результат можно сформулировать несколько иначе: в момент времени все точки линии, для которых находятся под напряжением а напряжение в точках равно нулю.

Все сказанное выше иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 28 и 29.

На рис. 28 приведена зависимость напряжения на линии от координаты при фиксированном При увеличении область, в которой напряжение отлично от нуля, перемещается вправо (в сторону положительных со скоростью мы получаем волну, бегущую в сторону положительных

На рис. 29 приведена зависимость напряжения на линии от времени в определенной точке, т. е. при фиксированном На рис. 30 изображено приложенное в начале линии напряжение Легко видеть, что изображенная на рис. 29 кривая представляет собою смещенную вправо кривую рис. 30.

Рис. 28.

Рис. 29.

Рис. 30.

5. Включение постоянного напряжения в линию, нагруженную на сопротивление

Рассмотрим вновь пример 2 [4.22]. Однако метод решения и окончательная форма его будут отличаться от приведенных выше.

Как известно, при интегрировании уравнений длинной линии классическими методами применяются способы Фурье и Д'Аламбера. В то время как решение, полученное в примере 2 [4.22], соответствует классическому методу Фурье,

решение, которое мы получим здесь, будет соответствовать методу Д'Аламбера. Последнее можно назвать решением в форме блуждающих волн.

Формулировка задачи сводится к следующему: постоянное напряжение включается в линию без потерь, нагруженную на конце на сопротивление Включение производится при нулевых начальных условиях.

Обозначения и схема включения приведены в упомянутой задаче.

Там же приведено выражение преобразованной функции напряжения, которое имеет вид:

Переходя от гиперболических функций к показательным, можем написаты

Разделив числитель и знаменатель этого выражения на

получим:

Если вещественная часть то по модулю меньше единицы кроме того, очевидно,

Таким образом, второе слагаемое в знаменателе (1) по модулю меньше единицы и, следовательно, мы можем написать:

Формула (1) теперь может быть преобразована так:

Обозначим через и напишем полученный ряд в развернутой форме:

Заметим теперь, что

а согласно теореме запаздывания

где —положительное число.

Каждое слагаемое в формуле (2) имеет такую же структуру, но величина имеет различные значения. Таким образом, интерпретируя каждый член суммы (2), мы можем написать:

Легко убедиться в том, что каждое слагаемое представляет собою волну прямоугольной формы, передвигающуюся вдоль по линии со скоростью Так, например, первое слагаемое представляет собою волну, возникающую в начале линии момент времени и перемещающуюся в сторону положительных второе слагаемое представляет волну, возникающую в конце линии в момент и распространяющуюся в сторону отрицательных (от конца к началу), причем последняя волна по величине будет равна

Для того чтобы получить значение напряжения в некоторой точке необходимо просуммировать отдельные составляющие напряжения. Следовательно, можно написать:

и т. д. Здесь легко заметить общий закон составления формул и написать:

На рис. 31 изображено изменение и при условии

Рис. 31.

В заключение необходимо отметить, что при все слагаемые суммы (2), кроме первого, обращаются в нуль. В этом случае остается только одна падающая волна, и все отраженные волны исчезают.

6. Включение постоянного напряжения в линию, нагруженную на емкость

Здесь мы найдем решение в форме блуждающих волн задачи о включении постоянного напряжения в линию без потерь, нагруженную на емкость Решение этой задачи в иной форме было ранее приведено в примере 3 [4,22].

Рассматриваемая схема изображена на рис. 32. Как и рацыие, будем искать напряжение в линии.

Рис. 32.

Преобразованное напряжение и можем написать, воспользовавшись формулой (1) [4.21]:

причем:

Переходя от гиперболических функций к показательным, можем формулу (1) переписать следующим образом:

Разделив числитель и знаменатель на найдем:

Если выбрать вещественную часть достаточно большой, то величина

будет по модулю меньше единицы, и можем написать:

Теперь для получаем формулу:

или

Эту формулу можно написать в развернутом виде:

Полученное выражение представляет собою сумму слагаемых вида

Для нахождения первообразной, функции, соответствующей каждому слагаемому, поступим следующим образом. Сначала рассмотрим преобразованную функцию

и найдем соответствующую ей исходную функцию . Воспользовавшись после этого теоремой запаздывания,

сможем получить исходные функции, соответствующие выражениям (2).

Обращаясь теперь к выражению (3), можем написать:

где

Это выражение можно преобразовать следующим образом:

или

Таким образом,

Последнее слагаемое этого выражения представляет собою произведение двух функций:

Первой из них соответствует исходная функция Следовательно, воспользовавшись теоремой свертывания, можем написать:

Таким образом, уравнение (4) приводит к следующему рекуррентному соотношению для исходных функций:

Этой формулой мы воспользуемся для вычисления функций для нескольких первых значений индекса

Прежде всего заметим, что

следовательно,

Полагая в формуле получим:

Аналогично при можем написать:

При найдем;

Таким образом, можно последовательно вычислять при возрастающем 5, однако с увеличением выражения делаются все более громоздкими, и продолжение процесса теряет практический смысл.

Воспользовавшись теоремой запаздывания, теперь можем написать следующие символические соотношения:

(см. скан)

7. Действие кратковременного импульса на электрический контур

Предположим, что на электрический контур, состоящий из индуктивности I, емкости С и сопротивления действует чрезвычайно короткое время постоянное напряжение При приложенное напряжение обращается в нуль и контур, оставаясь замкнутым, оказывается в режиме свободных колебаний. При в момент начала действия э. д. с. в контуре не было ни тока, ни заряда.

Уравнение задачи можно написать в форме:

что приводит к следующему выражению для преобразованной функции:

Сравнивая полученное выражение с формулой (2) примера 1 [3.14], видим, что отличие заключается только в множителе постоянном коэффициенте. Отсюда следует, что можем продифференцировать результат указанного примера и заменить множитель множителем

Произведя эти действия, получим:

8. Включение напряжения в цепь, состоящую из емкости и сопротивления

Постоянное напряжение подключается в момент к цепи, состоящей из параллельно соединенных емкости С и сопротивления до включения напряжения заряд конденсатора равнялся нулю. Требуется определить силу тока, текущего от источника к цепи.

Операторная проводимость цепи равна

Преобразованное напряжение равно у, и преобразованный ток найдется по формуле

Интерпретируя первое слагаемое как а второе — как находим:

Таким образом, ток, текущий от генератора к цепи, состоит из постоянного тока и мгновенного импульса, проносящего в начальный момент заряд

Этот результат, впрочем, очевиден непосредственно.