7.31. Примеры.

1. Включение постоянного напряжения в бесконечно длинную линию, обладающую сопротивлением и емкостью

Пусть постоянное напряжение включается при нулевых начальных условиях в бесконечную длинную линию, обладающую сопротивлением и емкостью С (рис. 36) на единицу длины.

Рис. 36.

Индуктивность и утечку положим равными нулю. В этом случае дифференциальные уравнения для преобразованных тока и напряжения будут иметь вид:

Интегрируя эти уравнения и применяя рассуждения, подобные приведенным в примере 4 [6.21], легко находим:

причем при

Будем искать напряжение на линии а. Согласно формулам обращения можем написать:

Здесь для вычисления интеграла мы не можем воспользоваться теоремой о вычетах, ибо подинтегральная функция неоднозначна и имеет точку разветвления при Рассмотрим прежде всего интеграл

взятый в плоскости комплексного переменного по контуру I, изображенному на рис. 37 и состоящему из прямой дуг окружности и малой окружности и прямых и

Рис. 37.

Обе окружности имеют центры в начале координат. Плоскость имеет разрез, проведенный из начала координат по вещественной оси в

Так как внутри контура интегрирования нет особых точек, рассматриваемый интеграл равен нулю.

Следовательно, можем написать:

Рассмотрим поведение функции на дугах и при увеличении радиуса этих дуг

Полагая можем написать:

На дуге угол меняется в пределах а следовательно, остается положительным. На дуге угол лежит в пределах а следовательно, и в этом случае остается положительным. На отрезках дуг и угол соответственно либо меньше либо больше Отсюда видно, что на дугах и при будет а следовательно:

т. е. стремится к нулю при неограниченном увеличении Последнее обстоятельство позволяет заключить, что интегралы, взятые по дугам и стремятся к нулю при увеличении

Действительно, интегралы по отрезкам и стремятся к нулю, ибо путь интегрирования остается всегда ограниченным, а подинтегральная функция стремится к нулю при Интегралы, взятые по дугам и стремятся к нулю в силу того, что здесь выполняются условия леммы

Жордана. Таким образом, устремляя к бесконечности, получаем:

причем здесь обозначен через радиус малой окружности

В интегралы, стоящие в правой части, введем новую переменную после чего получим:

Переходя к вычислению интеграла, взятого по окружности прежде всего отметим, что на этой окружности

т. е. при малом будет величиной малой, порядка таким образом,

где величина, стремящаяся к нулю вместе с равномерно относительно 6.

Учитывая, что можем написать:

при этом интеграл, стоящий в правой части, по модулю меньше, чем т. е. стремится к нулю вместе с Полагая теперь можем написать:

Вычисление последнего интеграла основано на равенстве

которое мы проинтегрируем по в пределах от до после чего получим:

Полагая

получим:

Введя обозначение

можем написать:

Таким образом, равенство (1) приобретает вид:

Формула (3) дает окончательное решение задачи. Функция табулирована и носит название интеграла вероятности.

2. Включение постоянного напряжения в составную линию, обладающую емкостью и сопротивлением

Пусть в момент постоянное напряжение включается в линию, состоящую из двух отрезков: первого, имеющего длину обладающего емкостью и сопротивлением на единицу длины, и второго, имеющего бесконечную длину и обладающего емкостью и сопротивлением на единицу длины (рис. 38).

Рис. 38.

Индуктивность и утечку линии будем считать равной нулю. Начальные условия — нулевые.

Будем искать напряжение в бесконечно длинном отрезке линии

Найдем сначала выражение для преобразованного напряжения в первом участке линии Согласно формуле (2) [4.2] можем написать:

причем в соответствии с формулами (5) и (6) [4.2]

есть нагрузочный импеданс на конце первого участка линии, т. е. выходное сопротивление (операторное) второго (бесконечного) участка.

Написав уравнения длинной линии и воспользовавшись условием на бесконечности, можем легко получить для

причем А — произвольная константа,

Для входного сопротивления можем написать соотношение

Таким образом, формула (1) приобретает вид:

причем

В точке

а следовательно, при согласно (2), можем написать:

Для нахождения исходной функции и мы должны воспользоваться формулами обращения Римана — Меллина

и, ограничиваясь случаем получим:

Как легко видеть из написанного выражения, подинтегральная функция не будет однозначной, а имеет точку разветвления при Таким образом, применение теоремы о вычетах для вычисления интеграла оказывается невозможным,

а следовательно, теорема разложения неприменима в рассматриваемом случае.

Постараемся теперь привести интеграл (3) к вещественной форме, для чего произведем преобразования, подобные примененным в предыдущей задаче настоящей главы (стр. 155).

Как и раньше, проведем разрез по отрицательной части вещественной оси и рассмотрим интеграл по контуру, изображенному на рис. 37. Легко убедиться, что внутри контура интегрирования особые точки отсутствуют. Действительно, подинтегральное выражение может иметь особые точки (помимо точки только там, где знаменатель в (3) обращается в нуль. Обозначая через получаем уравнение:

Такое уравнение было нами подробно рассмотрено в примере 2 главы IV. Из этого рассмотрения следует, что должно иметь отрицательную вещественную часть, если положительное число, что в нашем случае непременно должно иметь место.

Однако, проведя разрез, как указывалось выше, мы ограничили изменение аргумента в пределах отсюда следует, что аргумент будет лежать в пределах , т. е. вещественная часть в рассматриваемой области всегда положительна. Отсюда следует, что особые "точки подинтегральной функции не лежат в плоскости, в которой ведется интегрирование, а находится на другом листе римановой поверхности.

Учитывая это обстоятельство и повторяя рассуждения, приведенные в предыдущей задаче настоящей главы, легко приходим к выводу, что рассматриваемый интеграл равен с обратным знаком сумме интегралов, взятых по окружности малого радиуса, вблизи от начала, и интегралов, взятых по обоим краям разреза.

Интеграл, взятый по окружности равен с точностью до величин, стремящихся к нулю вместе с радиусом окружности.

Полагая и введя обозначения

можем написать:

или

Введя новую переменную после несложных преобразований найдем: