4.2. Задачи с нулевыми начальными условиями.

В настоящем параграфе мы будем рассматривать задачи с нулевыми начальными условиями, т. е. будем предполагать, что в начальный момент времени ток и напряжение во всех точках линии равны нулю. Если к концам линии подключаются какие-либо элементы, содержащие индуктивности и емкости, то и в этих элементах будем считать токи и заряды отсутствующими в начальный момент времени.

Перейдем теперь к составлению уравнений для преобразованных функций.

Для этой цели умножим уравнение (1) [4.1] на и проинтегрируем в пределах и со.

Прежде всего составим

Принимая во внимание, что дифференцирование производится по а интегрирование по причем и -переменные независимые, переменим порядок дифференцирования и интегрирования. Получим

Рассмотрим теперь

Здесь мы можем произвести интегрирование по частям и получить:

Принимая во внимание, что при а при стремится к нулю, получим:

Совершенно аналогично получим:

Таким образом, преобразование уравнений (1) [4.1] приводит к следующим соотношениям:

В случав линии без потерь, очевидно, получим:

Интегрирование уравнений. В результате произведенных преобразований мы пришли к дифференциальным уравнениям, определяющим преобразованные функции напряжения и тока. Нужно отметить, что последние уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а не уравнениями в частных производных. Следовательно, задача о нахождении преобразованных функций значительно проще задачи о нахождении тока и напряжения из уравнений (1) [4.1].

Дифференцируя уравнение (1) по и подставляя из уравнения (2), получим

или, полагая

можно написать:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

где произвольные константы, которые могут зависеть от эти константы должны быть определены из граничных условий задачи.

Теперь перейдем к определению Из уравнения (1) найдем

и, следовательно,

Введя обозначение:

можем написать:

Таким образом, мы приходим к двум уравнениям, определяющим (с точностью до произвольных констант преобразованные функции напряжения и тока:

причем

Для того чтобы внести однозначность в определения мы условимся в дальнейшем понимать под то значение корня, которому соответствует положительная вещественная часть, т. е. положим:

Этими неравенствами также однозначно определяется так как

Отсюда, например, вытекает, что корень в выражении (6) следует выбирать с положительной вещественной частью, если вещественная часть положительна.

Для линии без потерь, полагая получим: