9.2. О нахождении огибающих для колебаний в системах, близких к консервативным.

Предположим, что для некоторой электрической цепи, находящейся под воздействием внешней э. д. с. (или находящейся в состоянии свободных колебаний), мы получили для искомой величины (ток, напряжение) операционное выражение

где полиномы, причем степень V выше степени

Далее допустим, что в входят величины, которые мы можем считать сколь угодно малыми и характеризовать малым параметром Таким образом,

Для нахождения оригинала по изображению мы можем воспользоваться либо теоремой разложения 4 [2.2] (если корни знаменателя простые), либо формулой обращения

Однако при фактическом проведении вычислений возникают трудности, связанные с определением корней знаменателя и с большим количеством выкладок.

Предположим теперь, что при уравнение

легко решается и что корни этого уравнения будут чисто мнимые:

Полагая, что корни непрерывно зависят от (при малых можем получить уточненное значение корня следующим образом. Напишем уравнение в форме

где и разложим левую часть этого равенства по степеням величины которую будем считать малой (порядка

В разложении удерживаются члены только одного порядка малости (наименьшего), и полученное уравнение решается относительно

В дальнейшем в формуле (4) [2.2] или при вычислении интеграла (5) [7.1] по теореме о вычетах используются приближенные значения корней, причем в малых членах входящих в сумме с большими, полагается равным

Если все корни простые, то в соответствии с формулой (4) [2.2]

Учитывая, что при комплексно сопряженных значениях члены суммы (3) будут также комплексно сопряженными,

можно сразу видеть, что огибающая для колебания с частотою будет выражаться формулой

причем

В более общем случае, когда среди корней имеются кратные, из формулы обращения следует, что

где вычет функции в точке или

где порядок полюса.

Полагая находим:

где — вычет функции в точке

Отсюда следует, что в общем случае при наличии кратных корней решение представляется в виде колебаний с медленно меняющимися амплитудами и фазами, причем огибающая соответствующая колебанию с частотой равна при условии, что

В заключение следует отметить, что если имеются два колебания с близкими частотами (разность частот порядка то их можно объединить в одно колебание с новой огибающей.

Так, например, если в общей формуле

окажется малым числом, то можно выделить слагаемые

с частотами и и написать:

Выражение, стоящее в квадратной скобке, является медленно меняющейся величиной и может рассматриваться как огибающая колебания с частотою