5.3. Примеры.

1. Включение постоянного напряжения в цепную схему, замкнутую накоротко

Пусть в момент при нулевых начальных условиях, к схеме, изображенной на рис. 20а, подключается постоянное напряжение

Рис. 20,

Пусть число звеньев равно индуктивность и емкость звена соответственно обозначены через Выходные зажимы замкнуты накоротко.

Применяя законы Кирхгофа в операторной форме к отдельному звену (рис. 206), можем написать:

Отсюда вытекает, что коэффициенты четырехполюсника имеют следующий вид:

Равенства (3) [5.2] можно теперь написать так:

Ввиду того, что выходные зажимы цепочки замкнуты накоротко, Из первого уравнения (7) [6.2], полагая получаем

Выражая отсюда и подставляя в уравнения (7) [6.2] после преобразований получаем:

Преобразованная функция приложенного напряжения

и, следовательно, можем написать:

Будем сначала искать напряжение для чего воспользуемся формулой (3) [2.21], полагая

Теперь найдем корни уравнения Полагая можем написать: Отсюда следует, что

где произвольное целое число или нуль.

Соответствующие значения отсюда легко находятся:

Здесь необходимо сделать следующие, замечания.

В теореме разложения, по самому смыслу ее вывода, суммирование ведется по всем значениям обращающим в нуль. Как легко видеть, при изменении к от до в формуле (5), получающиеся значения к не всегда будут различны. Так, например, дают одинаковые значения Значениям к, равным соответствуют различные значения однако при дальнейшем увеличении к значения начнут повторяться. Это видно хотя бы из соотношения

где целое число, которое позволяет свести вычисление при к случаю

Таким образом, суммирование по всем очевидно, сведется к суммированию по значениям к, лежащим в пределах от 1 до включительно. Что касается значения то оно соответствует как это видно из (5), что находится в противоречии с условием, чтобы ни один из корней уравнения не равнялся нулю. Однако в данном случае применение теоремы разложения все же возможно, так как при обращается в нуль также и числитель. Как можно видеть из вывода теоремы разложения, приведенного в главе VII, суммирование, в сущности, ведется по тем значениям которые являются особыми точками преобразованной функции, т. е. обращают в бесконечность отношение . В данном случае значение не является особой

точкой этого отношения и, следовательно, не должно учитываться под знаком суммы.

Далее отметим, что, как это следует из каждому значению соответствуют два значения отличающихся знаком,

Обозначая в дальнейшем

через и учитывая высказанные выше соображения, можем написать:

При также и следовательно, раскрывая неопределенность, получаем:

Далее отметим, что

Для вычисления продифференцируем по равенство

Получим

и, следовательно,

и, кроме того,

Подставив полученные выражения в формулу (6) и введя обозначение

найдем

Теперь перейдем к вычислению силы тока. В этом случав мы будем исходить из выражения

Это выражение нуждается, прежде всего, в преобразовании. Учитывая, что

можем написать:

Таким образом, формула (8) приобретает вид:

или

Переходя к вычислению отметим, что знаменатель (8) имеет при кратный корень. Для того чтобы применение теоремы разложения стало возможным, представим в форме

где

На основании приведенных ранее теорем можем написать:

Вычисление будем производить, пользуясь теоремой разложения, полагая

Мы воспользуемся ранее полученными соотношениями

и, кроме того, оставим в силе обозначение

Теперь можем написать:

и после некоторых преобразований получаем:

Воспользовавшись (10), находим окончательный результат: