2.21. Теорема разложения.
Положим, что
где 
полиномы, причем степень 
не выше степени 
Кроме того, предполагается, что 
не имеет корня, равного нулю.
Полагая в уравнении 
можем написать:
причем суммирование ведется по всем корням уравнения
Последнее уравнение, очевидно, имеет корень, равный нулю, и мы положим 
Выражение, входящее в знаменатель (1), может быть написано так:
При 
обращается в нуль второе слагаемое, а при 
обращается в нуль 
Выделяя в уравнении (1) слагаемое, соответствующее 
получим:
Удобно несколько изменить обозначения в последней формуле, считая что полином 
имеет степень 
(а не 
как это следовало из предыдущего), — и пронумеровать корни уравнения 
от единицы до 
Тогда формула (2) приобретает вид:
Соотношение (3) носит название теоремы разложения Хевисайда и дает решение интегрального уравнения Лапласа
Как упоминалось выше, 
и 
-полиномы от 
причем имеет степень 
степень не выше 
Уравнение
не имеет кратных корней, равных нулю.
Суммирование в уравнении (3) ведется по всем корням уравнения (4).
Формулы (3) и (4) [2.21 совершенно идентичны и позволяют решать весьма большое число практических задач. Однако приходится сталкиваться с задачами, когда эти формулы не могут быть применены непосредственно, например, вследствие того, что уравнение (4) имеет кратные корни. В этих случаях нам окажут помощь некоторые теоремы, которые будут доказаны дальше.
