4.31. Примеры.

1. Разряд конденсатора на короткозамкнутую линию

Рассматриваемая схема изображена на рис. 16. Конденсатор, емкость которого равна приключается в момент к длинной линии без потерь, замкнутой накоротко на конце .

Рис. 16.

В начальный момент напряжение и ток в линии равняются нулю. Конденсатор заряжен до напряжения Полагая в уравнениях (2) и (3) [4.21], получим:

Здесь преобразованная функция напряжения в начале линии (при пока нам неизвестная. Принимая во внимание связь между током и напряжением на конденсаторе, можем написать:

Это равенство имеет силу для всех моментов следовательно, оно может быть умножено на и проинтегрировано в нределах и со. После интегрирования получим:

где значение при Таким образом,

Полагая в уравнении можем написаты

что совместно с уравнением (3) дает

Подставляя это значение в уравнение (1), получим:

и после простых преобразований:

Мы пришли к преобразованной функции, знаменатель которой совпадает со знаменателем формулы (1) в примере 3 [4.22]. Не будем повторять все рассуждения, относящиеся к корням знаменателя, и отметим только, что корни уравнения

будут чисто мнимые и можно положить

Для определения получаем уравнение

Корни этого уравнения могут быть найдены по таблице, приведенной ранее (пример 3 [4.22]). Положительным соответствуют положительные корни и, кроме того,

Для определения исходной функции (напряжения) и воспользуемся формулой

где суммирование ведется по всем равным Полагая в этой формуле:

можем написать:

Принимая во внимание, что

получим

Подставляя найденные величины в уравнение (3), придем к выражению:

или

Эта формула дает окончательное решение задачи. Числа находятся так, как это указано в примере 3 [4.22].

2. Разряд короткозамкнутой линии

В качестве второго примера, иллюстрирующего применение операционных методов к задачам ненулевыми начальными условиями, рассмотрим процесс разряда линии без потерь, при коротком замыкании одного из ее концов (рис. 17).

Рис. 17.

Предположим, что линия заряжена до напряжения и в момент левый конец этой линии замыкается накоротко. Таким образом, начальные условия задачи имеют вид:

при

Граничные условия можно написать так:

при

Уравнения задачи были получены в [4.1] и имеют следующий вид:

В соответствии с общим методом, умножим эти уравнения на и проинтегрируем в пределах и со. Подобно изложенному в [4.2], мы можем получить:

Кроме того,

Таким образом, преобразование уравнений задачи приводит к соотношениям:

Дифференцируя первое уравнение по и подставляя из второго уравнения, найдем:

или

где

Мы получили линейное дифференциальное уравнение со свободным членом. Общий интеграл может быть, как известно, найден в виде суммы общего решения однородного уравнения (без свободного члена) и частного решения уравнения (3). Последнее может быть легко найдено. Очевидно, что постоянная величина — удовлетворяет уравнению (3). Таким образом,

Выражение для преобразованного тока может быть легко найдено из уравнения (1):

где

Обратимся теперь к граничным условиям. При а следовательно, полагая в уравнении получим

Полагая в уравнении и учитывая, что в конце линии ток равен нулю, найдем:

Подставляя в уравнения (4) и (5), получим:

Сравнивая полученные выражения для преобразованных функций с преобразованными функциями в примере 1 [4.22], мы видим, что в обоих случаях совпадают, а преобразованные функции напряжений отличаются на Это обстоятельство позволяет нам прямо воспользоваться результатами упомянутой задачи и, опуская выкладки, написать: