ГЛАВА IV. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДЛИННЫХ ЛИНИЙ

В предыдущей главе мы рассматривали системы с сосредоточенными постоянными, пользуясь теоремой разложения или аналогичной ей формулой (4) [2.2]. Характерной особенностью этих задач было то обстоятельство, что они описывались обыкновенными дифференциальными уравнениями и, как следствие, преобразованные функции имели вид рациональной дроби. Таким образом, теорема разложения, которая была нами выведена в предположении, что преобразованная функция представляет собой рациональную дробь, находилась в полном соответствии с рассмотренными задачами и полученные результаты с этой точки зрения не могут вызывать сомнений.

Переходя к системам с распределенными постоянными, мы встречаемся уже с дифференциальными уравнениями в частных производных и, как дальше будет видно, с преобразованными функциями, имеющими вид не рациональной дроби, а трансцендентной функции от Таким образом, приведенное выше доказательство теоремы разложения теряет силу для последнего случая.

Однако, как это вытекает из более полного рассмотрения, теорема разложения остается справедливой для весьма широкого класса задач, в которых преобразованная функция не есть рациональная дробь; в частности, многочисленные проблемы, относящиеся к теории длинных линий, принадлежат к этому классу. Здесь необходимо отметить одну методическую трудность, с которой нам приходится иметь дело.

Полное исследование вопроса о пригодности теоремы разложения в тех или цных случаях, а также рассмотрение

задач, для решения которых теорема разложения применена быть не может, наиболее целесообразно произвести, пользуясь методами теории функций комплексного переменного.

Нужно сказать, что полное, вполне строгое и свободное от неясностей понимание методов операционного исчисления может быть создано на базе теории функций комплексного переменного и едва ли другими путями можно достигнуть этой цели так же быстро и в столь полной мере. С этой точки зрения следовало бы начинать изложение операционных методов, базируясь сразу на теории функций комплексного переменного, рассматривая теорему разложения как частный случай более общих соотношений, но такое систематическое изложение представляло бы значительные трудности для лиц, не владеющих основным аппаратом теории функций комплексного переменного.

Учитывая это обстоятельство, мы поступим иначе. Рассмотрим ряд задач, связанных с теорией длинных линий, перенеся теоремы, выведенные ранее, без новых доказательств на эти задачи. Это даст возможность тем, кто не желает обращаться к помощи теории функций, освоить основные методы операционного исчисления применительно к теории длинных линий. При этом, конечно, не достигается исчерпывающее понимание, но зато скорее будут изучены практические приемы решения задач.

В главе VII будет дано обоснование операционных методов на базе теории функций комплексного переменного и, в частности, дан вывод теоремы разложения для случая мероморфных функций, с которыми приходится обычно сталкиваться в теории длинных линий. Таким образом, в дальнейшем представится возможность познакомиться с более строгим изложением вопроса и восполнить те пробелы в понимании теории операционного исчисления, которые должны остаться при чтении глав, предшествующих главе VII.