1.2. Составление преобразованной функции по данному дифференциальному уравнению.

Операционное исчисление есть метод интегрирования некоторых классов линейных дифференциальных уравнений, который сводится к тому, что сначала разыскивается не сама неизвестная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, а соответствующая ей преобразованная по Лапласу функция.

Этот метод непосредственно применяется к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, а также к некоторым типам линейных уравнений в частных производных.

Способ составления преобразованных функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, удобнее всего иллюстрировать на следующих примерах.

1.21. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Пусть дано уравнение

где а — постоянная, причем требуется найти интеграл уравнения, удовлетворяющий условию

Умножая обе части уравнения на и интегрируя в пределах и можем написать:

и, воспользовавшись формулой (2) [1.1], получить:

отсюда

Аналогично, для уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

умножая его на и интегрируя в пределах и со, найдем:

Принимая во внимание, что

где получим:

Следовательно,

Из этих примеров непосредственно явствует методика составления преобразованных функций для уравнений любого порядка.

В случае систем уравнений можем воспользоваться тем же методом. Пусть, например, даны уравнения с постоянными коэффициентами:

Умножая каждое уравнение на и интегрируя в пределах и получим:

Решая эти уравнения совместно относительно найдем значения преобразованных функций.

В задачах электротехники приходится сталкиваться с интегро-дифференциальными уравнениями, в которые входят интегралы от искомых функций. В этом случае метод остается прежним и только нужно воспользоваться правилом, выражаемым соотношением

Например, уравнение

приводит к соотношению

Нужно обратить особое внимание на случай, когда приходится иметь дело с "нулевыми" начальными условиями. Этот случай имеет место, например, при рассмотрении электрической системы, находящейся под действием внешних сил,

причем в начальный момент времени токи в катушках самоиндукции и заряды конденсаторов равняются нулю.

Описанный выше процесс делается тогда особенно простым: достаточно в дифференциальных уравнениях зядачи заменить искомые функции преобразованными, операции дифференцирования — умножением на операции интегрирования — делением на а функции, стоящие в правых частях, также заменить соответствующими им преобргзэванными функциями и получившуюся систему алгебраических уравнений решить относительно искомых преобразованных функций.

1.22. Уравнения в частных производных.

Рассмотрим теперь пример, относящийся к уравнениям в частных производных. Пусть дано уравнение

где функция двух независимых переменных -постоянное число.

Требуется найти интеграл этого уравнения, удовлетворяющий начальным условиям:

а также некоторым граничным условиям.

Умножим обе части уравнения (1) на и проинтегрируем по в пределах и

Принимая во внимание, что независимые переменные, можем написать:

Обратимся теперь к интегралу

Интегрируя дважды по частям и принимая во внимание, что при

получаем

Таким образом, уравнение (1) преобразуется к следующему виду:

Равенство (2) представляет собою обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее оно может быть легко проинтегрировано:

где и В — функции от определяемые из граничных условий.

В дальнейшем мы рассмотрим ряд задач, где будут более подробно иллюстрированы методы нахождения преобразованных функций.