5.2. Уравнения цепной схемы.

Рассмотрим цепочку, состоящую из однотипных четырехполюсников, соединенных друг с другом, как показано на рис. 19а.

Рис. 19.

Будем нумеровать четырехполюсники от 1 до слева направо. Выходным зажимам будем присваивать номер четырехполюсника.

Таким образом, 5-й четырехполюсник (рис. 196) имеет выходные зажимы, через которые протекает ток и напряжение на который равно Входные зажимы 5-го четырехполюсника являются одновременно выходными зажимами четырехполюсника, вследствие чего всем величинам, к ним относящимся, присваивается индекс 5—1. Таким образом, входные зажимы цепочки имеют индекс 0, а выходные

Для произвольного 5-го звена можем написать основные уравнения четырехполюсника

Эти соотношения, имеющие силу для всех целых значений 5, лежащих в пределах от 1 до можно рассматривать как уравнения в конечных разностях, из которых надлежит определить и 18 как функции целочисленной переменной .

Решение этих уравнений будем искать, по аналогии с дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, в форме

где не зависящие от числа.

Подставляя эти выражения в (1), получаем:

после сокращения на находим:

Очевидно, что уравнения (1) удовлетворяются при

Однако это тривиальное решение не представляет интереса, и мы будем предполагать, что не равны нулю. Тогда, перемножая уравнения сокращая произведение получим следующее уравнение, определяющее константу

Раскрывая скобки, умножая на и учитывая соотношение получаем:

Из этого уравнения легко находится

а отсюда получаем

откуда следует, что

Эти равенства, как легко видеть, определяют два значения отличающиеся знаком. Будем в дальнейшем подразумевать под одно из этих значений (безразлично какое), а другое значение обозначим через Таким образом, в качестве частных решений уравнений (1) получим функции Вследствие линейности уравнений общее решение можно написать в форме:

Константы связаны соотношениями (2):

где

Таким образом, уравнения (4) приобретают вид:

Выразим теперь и через напряжение и ток в начале цепочки. При имеем:

Из этих двух уравнений получаем:

Подставляя эти коэффициенты в (6), получаем окончательно:

Особенно простую форму приобретают эти уравнения для цепочки, состоящей из симметричных звеньев. В этом случае следовательно, равенства (3) имеют вид:

Равенства (5) в этом случае могут быть преобразованы следующим образом:

Следовательно,

и уравнения (7) можно написать так:

Теперь необходимо сделать несколько замечаний, относящихся к выбору Как указывалось выше, формулы (3) определяют два значения отличающихся знаком, и мы одно из

них, которое в дальнейшем будем называть главным, обозначали через а другое через

Если мы заменим через — то, как это видно из формул переходит в Учитывая это, мы можем заметить, что при замене на формулы (7) и (10) не меняют своего вида. Отсюда мы делаем вывод, что результат не зависит от того, какое из значений определяемых равенствами (3), принять за главное. Важно только иметь в виду, что, выбрав главное значение, необходимо во всех последующих выкладках придерживаться этого значения.

Следует отметить, что формулы (5) однозначно определяют через следовательно, при выбранном формулы (7) и (10) пишутся единственным образом.

Обычно при вычислениях принимают за главное такое значение которое имеет положительную вещественную часть. Если приходится рассматривать как функцию комплексного переменного то, выбрав указанным образом значение в некоторой точке плоскости и переходя в другую точку по заданному пути, мы можем однозначно определить в новой точке, требуя непрерывного изменения при переходе.