ГЛАВА VI. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРАВИЛА ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

В предыдущих главах мы рассматривали задачи, решение которых могло быть получено непосредственным применением теоремы разложения. Однако довольно часто приходится встречать задачи, для решения которых необходимо применять другие методы нахождения исходной функции по заданной преобразованной. Как указывалось выше, полное и строгое решение задачи об обращении преобразования Лапласа может быть получено на базе теории функций комплексного переменного, и мы остановимся на этих методах в следующей главе.

Сейчас мы приведем некоторые теоремы, которые позволят весьма сильно расширить класс рассматриваемых задач. В частности, это даст нам возможность обойти некоторые ограничения, указанные при выводе теоремы разложения, а также получить решение уже рассматривавшихся ранее задач в новой, более удобной в некоторых случаях форме.

6.1. Некоторые теоремы и правила.

В предыдущих главах мы широко пользовались двумя основными правилами, позволяющими непосредственно составлять преобразованные по Лапласу функции от производной и от интеграла от исходной функции.

Эти правила формулировались следующим образом.

то

Таким образом, если некоторой функции соответствует преобразованная то производной соответствует преобразованная

В дальнейшем, для сокращения записи, мы будем пользоваться условным обозначением, указывая стрелкой соответствие между функцией и ее лапласовой преобразованной. Таким образом, сформулированное выше правило запишется так:

Направление стрелки будем считать безразличным, так что можно, например, написать:

б) Второе правило относилось к интегралу от исходной функции и в условной записи будет иметь следующий вид:

Помимо этих основных правил, связывающих некоторые операции над исходными функциями с операциями над их лапласовыми преобразованными, можно привести еще несколько теорем, к изложению которых мы сейчас и перейдем.

6.11. Теорема запаздывания.

Пусть дана функция которой соответствует преобразованная функция т. е.

Рассмотрим теперь функцию которая при равна нулю, а при совпадает (рис. 21), т. е.

Составим теперь преобразованную функцию от Можем написать:

Вводя подстановку получим:

Следовательно,

Таким образом, смещению исходной функции в сторону положительных на величину соответствует умножение преобразованной функции на

Рис. 21.

Полученный результат может быть записан в следующей форме.

Если то

6.12. Теорема смещения.

Рассмотрим функцию

где — постоянное число (вещественное или комплексное). Можем написать

или

Таким образом, умножению исходной функции на соответствует замена в преобразованной функции на Этот результат можем записать так:

6.13. Теорема свертывания.

Пусть имеются две функции ( которым соответствуют преобразованные функции т. е.

Образуем теперь функцию по формуле

Применим теперь к преобразование Лапласа. Можем написать:

Применяя к этому выражению формулу Дирихле, получим

Полагая теперь можем написать:

и, следовательно,

Этот результат и есть теорема свертывания и сокращенно может быть записан так:

Очевидно, что функции можно переменить местами, т. е. можно написать:

учесть, что умножению преобразованной функции на соответствует дифференцирование исходной функции, то можно, в частности, написать:

Теорема свертывания широко применяется при рассмотрении ряда задач.

Если преобразованная функция может быть представлена в виде произведения двух (или большего числа) функций, причем для каждой из них исходная функция известна, то, применяя теорему свертывания, можно найти исходную функцию для

6.14. Специальные формы теоремы свертывания.

Применяя теорему свертывания к электрическим цепям, мы можем легко получить интегральные соотношения, представляющие собою специальные формы этой теоремы.

Пусть изображенный на рис. 22 четырехугольник условно обозначает линейную электрическую цепь произвольного вида, описываемую линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если в момент к левым зажимам схемы подключить постоянную э. д. с., равную единице, то в некотором участке цепи (между правыми зажимами) появится ток, который мы обозначим через (предполагается, что до включения система находилась в состоянии покоя, т. е. ни в одном элементе схемы не было ни токов, ни зарядов).

Рис. 22.

Если в момент включить не постоянную единичную э. д. с. (при упомянутых условиях), а некоторое напряжение то мы получим не ток а некоторый другой, который обозначим через Теорема свертывания позволяет получить связь между током вызываемым постоянной единичной э. д. с. в некотором участке цепи, и током вызываемым в том же участке цепи э. д. с. .

Для того чтобы установить эту связь, представим себе, что мы составили систему уравнений, описывающих поведение системы в первом (постоянная э. д. с.) и во втором случаях, а затем применили к этим уравнениям преобразование Лапласа.

Очевидно, что полученные таким образом уравнения, определяющие преобразованные функции отличались бы только свободными членами, причем последние представляли собою преобразованные напряжения соответственно.

Так как рассматриваемые уравнения линейны, то преобразованные токи должны относиться, как преобразованные напряжения, а следовательно,

Воспользовавшись уравнением (2) 16.13], получим

Если произвести дифференцирование, то эту формулу можно написать так:

где обозначает производную по при аргументе замененном на

Производя интегрирование по частям или заменяя переменные, мы можем легко получить аналогичные формулы:

Таким образом, если на электрическую цепь действует напряжение то найти вызываемый им ток можно по одной из полученных формул, причем ток, вызываемый единичным напряжением. Формулу (1) часто называют интегралом Дюамеля.

6.15. Другой вывод соотношений [6.14].

Можно получить предыдущие соотношения, не прибегая к понятию преобразованной функции. Ввиду того, что этот вывод, несмотря на его частный характер и нестрогость, обладает большой наглядностью, приведем его здесь.

Рис. 23.

Пусть приложенное к цепи напряжение изображено графически на рис. 23; будем искать ток, вызываемый, этим

напряжением в момент времени Разобьем весь интервал от до на равные части, длина каждой из которых равна Из каждой точки деления проведем перпендикуляр до пересечения с кривой и и заменим и ступенчатой кривой, как это показано на рисунке.

Теперь мы можем считать, что в момент включается постоянное напряжение , в момент включается дополнительно постоянное напряжение где — высота первой ступеньки, и т. д., т. е. в момент действуют совместно

Если единичное напряжение, включаемое в момент вызывает в момент ток то вызывает ток вызывает ток и вообще включаемая в момент вызывает ток

Благодаря линейности системы, мы можем считать, что ток, вызываемый всеми э. д. с., равен сумме токов, вызываемых каждой из них, а следовательно,

где число промежутков на которое разбит интервал.

С точностью до величин второго порядка малости мы можем написать:

где значение производной и по в точке Следовательно,

Если теперь увеличивать число промежутков, соответственно уменьшая интервал, то в пределе мы должны получить значение соответствующее действию плавной кривой причем сумма, стоящая в правой части, переходит в интеграл, взятый в пределах и

Таким образом, получаем

т. е. мы получили формулу (5) предыдущего параграфа.

6.16. Разложение по обратным степеням р.

Пусть преобразованная функция имеет вид:

где целое положительное число. Рассматривая эту функцию как произведение двух функций

где

и воспользовавшись теоремой свертывания, найдем:

При преобразованная функция равна а исходная функция равна единице. Следовательно,

При получим

Произведя последовательно вычисления при возрастающих значениях , легко получим общую формулу:

Этот результат можно записать в условной форме так:

Предположим теперь, что некоторая преобразованная функция может быть разложена в ряд по обратным степеням можно написать:

Учитывая полученное выше соотношение (1), получим

Эта формула иногда называется первой теоремой разложения Хевисайда.

6.17. О связи между преобразованной функцией при ... функцией при ...

Умножим уравнение (2) [6.16] на и будем стремить к бесконечности. Легко находим:

С другой стороны, полагая в уравнении (3) того же параграфа равным нулю, найдем

Отсюда следует, что

Приведенное доказательство формулы (1) основано на предположении, что преобразованная функция может быть разложена в ряд по целым степеням сходящийся при достаточно большом Можно привести доказательство, свободное от этого предположения.

Обращаясь теперь к формуле разложения

предположим, что все величины имеют отрицательную вещественную часть. Тогда, очевидно, при А стремящемся к бесконечности, стремится к

Принимая во внимание, что

мы можем написать:

Приведенное доказательство формулы (2) основано на предположении, что теорема разложения примёнима к рассматриваемой функции. Можно привести доказательство, свободное от этого предположения.

Очевидно, что равенство (2) имеет силу только в том случае, если стремится к определенному пределу при стремлении к бесконечности, что не всегда имеет место.

6.18. Импульсная функция.

В некоторых задачах, часто встречающихся на практике, приходится иметь дело с большими по величине, но кратковременными э. д. с., имеющими характер мгновенного толчка или импульса. При рассмотрении подобных задач полезно пользоваться понятием так называемой импульсной функции.

Рис. 24.

Представим себе функцию график которой изображен на рис. 24а, определяемую условиями:

причем может быть сколь угодно малым.

Составим теперь функцию определяемую соотношением

Легко видеть, что

Эта функция представлена графически на рис. Очевидно, имеют место соотношения

В предельном случае, когда вырождается в функцию равную нулю во всех точках, кроме точки При функция имеет бесконечное значение. Функция носит название импульсной функции, и мы будем рассматривать ее как предел при Для нее имеет силу соотношение

Функция при превращается в так называемую единичную функцию определяемую соотношениями:

Не вступая в противоречие с приведенными определениями импульсной и единичной функций, мы можем считать, что производная от единичной функции есть импульсная функция.

Теперь мы должкы будем остановиться на вопросе о том, что следует понимать под интегралом, содержащим импульсную функцию.

Рассмотрим выражение

где непрерывная функция.

Написанный интеграл нуждается в специальном определении, ибо подинтегральная функция выходит за пределы того класса функций, для которых дается обычное определение интеграла.

Принимая во внимание изложенное, естественно определить этот интеграл следующим образом:

Учитывая данное выше определение легко находим

или, в общем случае при

Найдем теперь преобразованную функцию от импульсной функции.

Можем написать на основании (3)

Таким образом, преобразованная функция от импульсной функции равна единице.

Если на электрическую цепь действует в течение короткого времени то можно считать, что, в основном, процесс определяется интегральным эффектом.

В этом можно убедиться, например, посредством формулы (2) [6.14].

Согласно этой формуле, можем написать:

Если рассматривать время т. е. когда уже ршно нулю, написанная формула приобретает вид:

Если будет непрерывной функцией от (по крайней мере при достаточно больших будет достаточно мало, то можно считать на всем пути интегрирования равным

Таким образом, можем написать

Первый множитель зависит толькоот свойств цепи, а второй есть интеграл от э. д. с., взятый за весь промежуток ее действия. Как видно из (5), можем при кратковременных импульсах, не меняя результата, рассматривать действие э. д. с. произвольной формы при условии, что интеграл (5) сохраняет неизменное значение.

Таким образом, мы вправе считать, что действует э. д. с., представляемая функцией

а преобразованная функция для этой э. д. с. будет равна

6.19. Некоторые вспомогательные соотношения.

В настоящем параграфе приведем без доказательства некоторые соотношения. В дальнейшем мы не будем пользоваться этими соотношениями, но укажем их для ознакомления читателя.

а) Пусть даны функции вещественных переменных зависит только от и пусть

т. е.

Предположим, кроме того, что может быть представлена в форме

причем и не зависят от

Если мы составим функцию

то будет иметь место соотношение

Эта формула, являющаяся обобщением результатов [6.13], принадлежит А. Эфросу.

б) Ниже приводятся несколько формул, которые могут быть получены из выведенных ранее путем интегрирования

и дифференцирования под знаком интеграла:

(см. скан)

Эти формулы имеют силу при известных ограничениях. Во всяком случае все несобственные интегралы должны существовать.

Для ознакомления с выводом формулы (1), а также формул пункта можно обратиться к книге А. Эфроса и А. Данилевского [2].

в) . Гринбергом была получена формула, в некотором смысле аналогичная теореме свертывания, дающая связь между операционными выражениями двух функций и операционным выражением для их произведения.

Пусть

и, кроме того,

Тогда имеет место следующее соотношение:

Интегрирование ведется в комплексной плоскости по прямой, параллельной мнимой оси, проведенной справа на расстоянии а от начала координат. Величина а, должна быть выбрана таким образом, чтобы интеграл

был конечен.

На о накладывается условие где положительное число, выбранное таким образом, чтобы интеграл

был конечен.

Доказательство этой теоремы имеется в работе Гринберга, опубликованной в докладах Академии наук СССР, т. XL, № 4, 1943.