2.2. Решение уравнения Лапласа для случая, когда правая часть уравнения представляет собой рациональную дробь.
Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид:
где 
полиномы от 
причем степень числителя ниже степени знаменателя. Таким образом:
Предположим, кроме того, что уравнение
имеет только простые корни, т. е.
где 
корень уравнения (2).
В этом случае, как известно, рациональная дробь 
может быть разложена на простейшие дроби, т. е. можно написать:
или
где 
постоянные коэффициенты.
Эти коэффициенты определяются следующим образом. Умножив обе части равенства (3) на 
получим:
Положим теперь 
равным 
после чего в правой части равенства второе слагаемое, содержащее множитель 
обратится в нуль. В левой части равенства мы получим неопределенность, так как 
обращается в нуль при 
Раскрывая эту неопределенность по формуле Лопиталя, найдем
где 
— производная взятая при значении 
Совершенно аналогично можем определить 
Таким образом, можем написать:
причем 
Разложение рассматриваемой дроби на простейшие теперь приобретает следующий вид:
Прямой подстановкой легко убедиться, что интегральному уравнению
удовлетворяет функция 
Таким образом, нам удалось представить правую часть интегрального уравнения (1) в виде суммы функций от 
причем для каждого слагаемого мы можем сразу написать решение соответствующего ему уравнения.
Воспользовавшись изложенными выше [2.1] свойствами решений уравнения Лапласа, можем написать:
Эта формула дает решение поставленной задачи, и мы будем в дальнейшем ею пользоваться. Формула (4) была известна №. Ващенко-Захарченко еще в 1862 г. 
