Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

2.1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБОБЩЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Обобщенная спектральная теории сигналов объединяет методы математического описания сигналов и помех. Эти методы позволяют: обеспечить требуемую избыточность сигналов, улучшить фильтрацию сигналов на фоне помех, облегчить анализ и синтез систем передачи информации (в том числе и нелинейных), улучшить синхронизацию в системах связи, создать аналоговые фильтры без икдуктивностей и цифровые фильтры, повысить быстродействие цифровой обработки сигналов, решить многие другие практически важные задачи.

Обобщенной спектральной теорией сигналов называют совокупность методов представления сигналов в виде (1.3). Наибольшее распространение получили методы, использующие представления сигналов в виде колебаний (функций времени) и в виде спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие (преобразования Фурье). Разложения по гармоническим функциям составляют классическую спектральную теорию. Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для различных систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов.

Представление (1.3) называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие основные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции должны иметь простую аналитическую форму; коэффициенты должны вычисляться относительно просто.

Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Условие ортогональности функций имеет вид

При

Число называют нормой базисной функции

Каждую базисную функцию можно пронормировать по ее норме, тогда нормированная базисная функция

Новая система удовлетворяет не только условию ортогональности, но и условию нормировки, которое имеет вид

где

— символ Кронекера. Систему называют ортонормированной.

Рассмотрим, как определяются коэффициенты при разложении сигнала по системе ортонормированных функций. Представим сигнал в виде

Умножив обе части уравнения (2.5) на и проинтегрировав на интервале получим

Из условия ортонормированности (2.4) следует, что в правой части полученного уравнения все интегралы при будут равны , а при один интеграл равен 1, следовательно,

Ортогональное разложение (2.5) называют обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты, определяемые (2.6), — обобщенными коэффициентами Фурье. Ортонормированные функции удовлетворяют всем трем указанным ранее условиям. Выбор базисных ортонормированных функций — одна из ответственных задач, ее решение существенно зависит от характера преобразований сигналов и системе.

Коэффициенты представляют собой эффективные значения гигглнляющих спектра (обобщенных гармоник), поэтому средняя мощность сигнала, выделяемая на сопротивлении 1 Ом,

Соотношение (2.7) называют равенством Парсеваля. Из этого равенства следует, что мощность сигнала равна сумме мощностей всех составляющих его спектра.

Определим коэффициенты, минимизирующие погрешность ортогонального разложения. Используем среднеквадратическую погрешность

Для минимизации необходимо решить систему уравнений при условии, что найти из решения йкопт, подставить эти значения коэффициентов в соотношение (2.8) и определить

Эту задачу решил Фурье. Он показал, что оптимальными являются коэффициенты, определяемые по формуле (2.6). Если число членов ряда то имеется некоторая среднеквадратическая погрешность, из-за которой

Если , то это неравенство вырождается в равенство Парсеваля (2.7), следовательно, в этом случае Таким образом, бесконечный ряд дает адекватное в среднеквадратическом смысле ортонормированное разложение сигнала.

Для реальных сигналов всегда можно указать такое, обычно небольшое при котором 80—90% мощности сигнала заключено в гармониках с номерами Поэтому ряды, используемые на практике, конечны, а число членов ряда определяет допустимые среднеквадратические погрешности. Относительную погрешность разложения определяют как отношение мощности ошибки аппроксимации к мощности самого сигнала:

Величина — та часть мощности сигнала, которая оказывается за пределами используемой полосы частот и не учитывается при восстановлении сигнала. По величине допустимой относительной погрешности из соотношения нетрудно определить число удерживаемых членов ряда.

В качестве базисных используют системы ортогональных функций Бесселя, Хаара, Уолша, системы ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лаггера и др. Примеры ортогональных разложений по таким функциям и полиномам рассмотрены в [7].

Реальные сигналы всегда ограничены во времени и имеют неограниченный спектр. В теории для удобства изучения сигналы I часто рассматривают не на конечном интервале а на полубесконечном или на бесконечном Для определенности начало отсчета совмещают с началом сигнала или с серединой. Если сигнал имеет конечную длительность его рассматривают или на интервале или на интервале Реальные сигналы являются случайными. Несмотря на это, В теории часто рассматривают сигналы, полностью известные в любой момент времени. Как уже отмечалось, такие сигналы называют детерминированными. Теория детерминированных сигналов как теория первого приближения удобна для решения простейших практических задач и полезна для развития теории случайных процессов.

Для изучения взаимосвязей сигналов используют такие характеристики, как взаимная энергия сигналов и взаимная мощность. Взаимной энергией сигнала называют величину

взаимной мощностью - величину

Различают сигналы, ортогональные по энергии, когда и ортогональные по мощности, когда Для ортогональных сигналов средняя мощность и энергия суммы обладают свойством аддитивности, т. е.

Сигналы, ортогональные по мощности, образуют более широкий клпсс, частью которого являются сигналы, ортогональные по энергии. Из ортогональности по энергии всегда следует ортогональность сигналов по мощности, но не наоборот. Только на конечном интервале, когда условия ортогональности по мощности ортогональности по энергии выполняются одновременно.

Следовательно, ортогональность сигналов тесно связана с интервалом их определения. Напомним, что энергия сигналов измеряется в ватт-секундах (ватт на герц), а средняя мощность — в ваттах.

Взаимная энергия и взаимная мощность характеризуют степень сходства сигналов. Если два сигнала полностью совпадают, то где мощность сигналов. Такие сигналы называют полностью когерентными. Для ортогональных по мощности сигналов следовательно, ортогональные сигналы полностью некогерентны. Если или то сигналы называют частично-когерентными.

Контрольные вопросы

(см. скан)