4.4. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ КАНАЛЫ

Для решения задачи прохождения сигналов через реальные каналы в общей постановке необходимо изучать прохождение случайных сигналов через нелинейные стохастические инерционные нестационарные системы. Работа таких систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями со случайными переменными коэффициентами и случайной правой частью. Поэтому решение таких задач является сложным, для многих реальных каналов оно является предметом современных научных

исследований. Характерные особенности задач анализа прохождения случайных сигналов через каналы обычно рассматривают с помощью; более простых приближенных моделей каналов. Например, как уже отмечалось, для анализа линейных и нелинейных искажений. сигналов канал рассматривают как последовательное соединение линейной инерционной системы и нелинейной безынерционной системы. Прохождение сигналов через такие системы изучают в статистической радиотехнике [15] и теории радиотехнических цепей [7].

Для систематизации представлений и иллюстрации основных особенностей анализа рассмотрим прохождение случайных стационарных сигналов через линейные инерционные системы с постоянными параметрами. Задачи анализа прохождения сигналов через нестационарные системы рассматриваются в § 6.6, где изучается влияние замираний сигналов на помехоустойчивость.

Напомним, что линейной называют систему, подчиняющуюся принципу суперпозиции, Примерами линейных инерционных преобразований являются такие операции, как усиление, фильтрация, дифференцирования, интегрирование, которые описывают линейным оператором (см. приложение). Полное описание работы линейной системы выполняют с помощью дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Широкое распространение получили импульсные и частотные характеристики линейных систем, которые обычно применяют для анализа установившихся режимов [7]. Задача анализа прохождения случайных сигналов через линейную систему в полной мере решена тогда, когда по заданной -мерной плотности распределения входного сигнала и импульсной (или коэффициенту передачи характеристике линейной системы найдена -мерная плотность распределения выходного сигнала Если входной процесс является гауссовским, то распределение выходного процесса остается гауссовским. В тех случаях, когда распределение входного сигнала отличается от гауссовского, определение распределения выходного процесса является достаточно сложной задачей, решаемой с помощью специальных приемов

В линейных системах прохождение сигнала и аддитивной помехи можно рассматривать отдельно, а затем просуммировать полученные отклики. Прохождение детерминированных (регулярных) сигналов через линейные системы детально рассматривается в курсе «Радиотехнические цепи» [7]. Основное внимание мы будем уделять прохождению случайных сигналов. В инженерной практике решение задач анализа выходных распределений во многих случаях упрощается в результате того, что в узкополосных линейных системах имеет место «нормализация» выходных распределений [15]. Эффект нормализации проявляется в том, что вне зависимости от характера входного распределения выходное распределение тем больше приближается к нормальному, чем уже полоса пропускания системы по сравнению с шириной спектра входного случайного процесса.

Рассмотрим преобразование гауссовского стационарного сигнала с корреляционной функцией и спектральной плотностью в линейной инерционной системе с импульсной характеристикой и коэффициентом передачи Найдем корреляционную функцию и спектральную плотность выходного процесса . В роли входного сигнала, будем рассматривать центрированный процесс которого Это вызвано тем, что прохождение постоянной (детерминированной) и переменной (случайной) составляющих через линейные системы удобно рассматривать отдельно, а характеристики Выходного колебания получать методом суперпозиции. На основании метода Дюамеля выходной сигнал

поэтому корреляционная функция

Операции интегрирования в (4.38) и усреднения по множеству можно менять местами, поэтому

Следовательно,

Из (4.39) следует, что при прохождении через линейную инерционную стационарную систему процесс остается стационарным. Дисперсия выходного процесса

Таким образом, для определения дисперсии выходного сигнала недостаточно знать дисперсию входного сигнала и Требуется знать корреляционную функцию при

Спектральную плотность выходного сигнала определим с помощью соотношения Хинчина-Винера (2.22):

Учтем, что

где величина, комплексно-сопряженная с Следовательно,

где модуль коэффициента передачи.

Из формулы (4.41) следует, что фазовая характеристика линейной системы не влияет на корреляционную функцию и спектральную плотность выходного процесса. Поэтому по изменениям корреляционной функции и спектральной плотности процесса нельзя судить о фазовой характеристике системы.

Дисперсию выходного процесса можно определить и с помощью формулы (2.23):

Если выходной гауссовский процесс центрирован, и дисперсия полностью определяет его одномерную плотность (2.41).

Для примера укажем характеристики гауссовского белого шума, прошедшего через полосовой фильтр с граничными частотами модулем коэффициента передачи и полосой пропускания Полосовым фильтром белый шум преобразуется в узкополосную помеху — гауссовский стационарный узкополосный процесс. Дисперсия помехи на выходе фильтра

где спектральная плотность белого шума в области положительных частот; Корреляционная функция помехи определяется по формуле (2.74), где

Таким образом, анализ прохождения случайных сигналов через непрерывные каналы связи по существу сводится к последовательному анализу методами статистической радиотехники и теории радиотехнических цепей различных функциональных преобразований случайных сигналов и последовательностей. Результаты анализа используют и для определения характеристик дискретных каналов.

Контрольные вопросы

(см. скан)

(см. скан)