Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ И ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ

1.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Сообщения и соответствующие им сигналы могут быть дискретными или непрерывными. Дискретное сообщение представляет конечную последовательность отдельных символов (букв), длительность этой последовательности ограничена. Типичным примером дискретного сообщения является телеграмма. Дискретные сообщения характерны для телеграфии, передачи данных и телеметрии. Для преобразования дискретного сообщения в сигнал необходима выполнить, как уже отмечалось во введении, операцию кодирования сообщения (см. § 1.6).

Непрерывное сообщение описывается непрерывной функцией времени. Примерами непрерывных сообщений служат речь, музыка, телевизионное изображение. С помощью специальных устройств непрерывные сообщения преобразуются в электрические непрерывные сигналы. Например, если сообщением служит речь, то микрофон преобразует звуковые колебания воздушной среды в электрические колебания. Электрические сигналы передаются в место приема или служат модулирующим сигналом для высокочастотного колебания.

Существуют системы электросвязи, предназначенные для передачи непрерывных сообщений дискретными методами. В этих системах непрерывные сигналы, соответствующие непрерывным сообщениям, с помощью операций дискретизации во времени и квантования по уровню (см. § 3.6) преобразуют в дискретные, которые затем передают дискретными методами. В месте приема из принятых дискретных сигналов восстанавливают переданные непрерывные сигналы.

При математическом описании сообщений формирование дискретных сообщений рассматривают «как последовательный случайный выбор того или иного символа из алфавита источника сообщений, т. е. как формирование случайной дискретной последовательности. Формирование непрерывных сообщений рассматривают как выбор реализаций непрерывной случайной функции. Поэтому основными математическими моделями дискретных сообщений являются дискретные случайные последовательности, а непрерывных сообщений — непрерывные случайные процессы [15]. Построение

математических моделей сообщений осуществляется вероятностными методами, а оценка параметров моделей выполняется методами математической статистики.

Математической моделью называют систему математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Построение математических моделей называют - математическим моделированием [18]. Для моделирования выбирают подходящие математические средства — алгебраические, дифференциальные или интегральные уравнения, теорию множеств, функциональный анализ, математическую логику, теорию вероятностей, теорию случайных процессов и др. Математическими моделями электрических сигналов, отображающих сообщения, и помех также являются случайные последовательности и процессы, поэтому математическое описание как полезных сигналов, так и вредных (помех) осуществляется одними и теми же методами.

В основе математического описания сообщений, сигналов и помех лежат методы теории вероятностей, теории случайных функций и математической статистики. Целью математического описания является разработка математических моделей сообщений, сигналов и помех, необходимых для анализа, синтеза и оптимизации объектов информационной техники. Математические модели позволяют анализировать свойства сообщений, сигналов и помех, а также синтезировать сигналы с требуемыми свойствами.

Все реальные сигналы и помехи являются случайными. Несмотря на это, в теории информации и передачи сигналов находят применение в качестве простейших моделей сигналов и помех неслучайные процессы, полностью известные в любой момент времени. Такие процессы называют детерминированными, их можно рассматривать как вырожденный класс случайных процессов, значения которых в любой момент времени известны с вероятностью, равной единице. Детерминированные процессы обычно используют как модели узкополосных сигналов-переносчиков и помех, случайные процессы — как модели полезных сигналов, шумоподобных, узкополосных и широкополосных сигналов-переносчиков и помех, модулированных сигналов.

Физическими характеристиками сигналов являются длительность , ширина спектра динамический диапазон и более общая характеристика — объем сигнала:

Длительность сигнала определяет время его существования, ширина спектра — диапазон частот, в котором сосредоточена основная энергия сигнала. Динамический диапазон характеризует отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к наименьшей (мин), допустимое значение которой определяется мощностью помех Эти характеристики сигналов полезны при определении требований, предъявляемых к каналам связи. Например, для неискаженной передачи сигналов емкость канала (см § 1.3) должна быть не меньше объема сигнала.

Важной характеристикой сигналов является также база

Если то сигналы называют узкополосными (простыми).

Еели то — широкополосными (сложными).

Сущность большинства задач анализа реальных сигналов зажлючается в том, чтобы эти сигналы, которые в большинстве случаев являются сложными, представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, удобном для последующего анализа их прохождения через те или иные цепи. Например, реальный сигнал может быть представлен в виде суммы ортогональных составляющих (элементарных сигналов)

бесчисленным количеством способов (см. § 2.1). Интервал показывает время действия сигнала. Так как система ортогональных функций применяемая для разложения, заранее известна, то сигнал полностью определяется набором весовых коэффициентов для этих функций. При приближенном представлении сигналов, что всегда имеет место в инженерной практике, набор чисел конечен. Такие наборы чисел называют спектрами сигналов [8].

Спектры, как известно из теории радиотехнических цепей являются удобной аналитической формой представления сигналов в рамках линейной теории. Основная задача — правильный выбор системы ортогональных функций (базиса), удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи. Таким образом, задачи анализа сигналов (анализа формы сигналов, их внутреннего строения, взаимосвязи элементов и т. п.) решают не отвлеченно, а, как правило, с точки зрения их прохождения через устройства передачи информации и способности передавать информацию и т. п.

Для детерминированных сигналов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа, использующие преобразования Фурье. В этих методах в роли выступают гармонические функции, а роль коэффициентов играют амплитуды гармоник. Для случайных сигналов наибольшее распространение получили методы корреляционного и спектрального анализа, основанные на преобразовании Хинчина — Винера (см. § 2.3). Эти преобразования являются результатом распространения метода Фурье на случайные процессы. При разложении случайных процессов коэффициенты являются случайными величинами, а оптимальные базисы определяются через корреляционные функции этих процессов.

Задачи синтеза сигналов могут быть двух типов: задачи структурного синтеза сигналов (задачи определения формы сигналов) и задачи параметрического синтеза (задачи определения

параметров сигналов известной формы). Если в процессе синтеза стоит чпдача обеспечить экстремум того или иного функционала (или функции), который характеризует качество синтеза, то синтез наливают оптимальным. Сущность задач синтеза сигналов рассмотрим на типичных примерах. Первая постановка задачи: определить такую оптимальную форму сигнала, при которой база сигнала будет минимальна. В этой задаче целевым функционалом структурного синтеза служит база сигнала, управляемой переменной — форма сигнала. Вторая постановка задачи: известны импульсная характеристика фильтра и энергия входного сигнала, требуется выбрать такую форму входного сигнала, чтобы энергия сигнала на выходе фильтра была максимальна. Третья постановка задачи: импульсная характеристика линейного фильтра и энергия входного сигнала заданы, требуется определить такую форму входного сигнала, при которой сигнал на выходе фильтра достигает максимума в заданный момент времени.

Рассмотренные постановки задач оптимального синтеза сигналов показывают, что эти задачи являются задачами на отыскание I экстремума функции или функционала, в том числе и при наличию ограничений различного характера. Методы решения таких экстремальных задач разрабатываются в теории математического программирования. Задачи решают, как правило, с учетом того, в каких цепях будут циркулировать синтезируемые сигналы.

Рассмотренные примеры, конечно, не охватывают всех направлений синтеза сигналов. В теории информации и передачи сигналов изучают и задачи неоптимального синтеза, которые пока еще не решаются регулярными методами теории математического программирования. К задачам такого типа можно отнести, например, задачу получения требуемого числа высоко стабильных колебаний, обладающих заданными свойствами и играющих роль сигналов-переносчиков, задачу получения требуемого числа ортогональных шумоподобных сигналов. По существу, это задачи синтеза технических устройств: датчиков опорных частот, генераторов шумоподобных сигналов и др.

Контрольные вопросы

(см. скан)