7.3. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Рассмотрим особенности решения задач оптимального приема непрерывных Сигналов методом максимального правдоподобия. Вначале решим задачу оптимальной оценки одного неизвестного параметра сигнала, а затем параметров ортогонального разложения полезного сигнала. Конечным итогом решения задач будем считать определение отношения сигнал/шум на выходе приемника, выраженного через характеристики полезного сигнала и помехи, и оценку потенциальной помехоустойчивости передачи непрерывных сигналов.

7.3.1. Оптимальная оценка амплитуды сигнала. Такая задача возникает при измерении амплитуды сигнала или коэффициента передачи канала. Аналогично оценивают среднюю частоту или время прихода сигнала, тактовый интервал в синхронных дискретных системах связи и другие параметры. Для определенности примем, что передаваемый сигнал имел единичную амплитуду, а после прохождения по каналу его амплитуда приняла значение тогда Наша цель — применить метод максимального правдоподобия для оптимальной точечной оценки

Понятно, что точно определить невозможно. Это обусловлено рядом причин: наличием помехи ограниченностью времени наблюдения, наличием погрешностей измерительных приборов и т. п. Поэтому и ставится задача получить точечную оценку А, которая является функционалом принятой реализации и в той или иной мере отражает истинное значение Конечно, желательно, чтобы в соответствии с основным принципом теории статистического оценивания полученная оценка была бы состоятельной, несмещенной и эффективной [9, 13, 15].

При гауссовском белом шуме со спектральной плотностью функция правдоподобия имеет вид

Логарифм этой функции

Дифференцирование по и приравнивание результата нулю дает следующее уравнение максимального правдоподобия

Преобразуем его к виду, удобному для решения:

Решение уравнения

Следовательно, для получения оптимальной оценки необходимо применить один из видов аппаратурной реализации оптимальной линейной обработки (см. § 6.1). Например, можно использовать корреляционный приемник, в котором для упрощения схемы коэффициент усиления интегратора следует выбрать равным Определим качество полученной точечной оценки Подставим в (7.25) значение тогда

Абсолютная ошибка в оценке

Найдем математическое ожидание и дисперсию ошибки

Следовательно, оценка является несмещенной. Так как при то поэтому оценка асимптотически эффективна по Итак, можно использовать как оптимальную точечную оценку коэффициента передачи

7.3.2. Оптимальная оценка восстанавливаемого сигнала. Обобщим рассмотренный алгоритм получения точечной оптимальной оценки одного параметра на случай оценки параметров ортогонального разложения полезного сигнала. По-прежнему будем считать, что принятый сигнал описывается соотношением (7.1). На интервале существования стационарный полезный сигнал, спектр которого ограничен верхней частотой представим

в виде канонического разложения (2.45). Положив, что постоянная составляющая отсутствует, получим

где А — случайные параметры точечные оценки которых необходимо получить в процессе решения оптимальной задачи обработки непрерывного сигнала; -ортонормированные гармонические фунвдии; база

Введем для упрощения записи вектор-параметр тогда принимаемый сигнал можно представить в виде

Задача оценки сводится теперь к задаче точечной оценки вектор-параметра А, или, иначе говоря, совокупности случайных величин

Качество оценки определяется совместной оценкой параметров — координат вектора Совместные максимально правдоподобные оценки определяются из решения системы уравнений правдоподобия

При флуктуационной помехе в гауссовом канале и известной аналитической форме сигнала-переносчика функция правдоподобия

Анализ (7.33) показывает, что максимально правдоподобные оценки при флуктуационном шуме в канале минимизируют функционал т. е. обеспечивают

Следовательно, при оптимальном приеме непрерывных сигналов, как и в случае приема дискретных сигналов, приемник выделяет в результате вычисления оптимальных X тот полезный сигнал который в гильбертовом пространстве ближе всего к принятому

Если помеха отсутствует, то и такой приемник точно восстанавливает полезные сигналы на выходе детектора.

Последовательное логарифмирование (7.33), дифференцирование по и приравнивание результата нулю дает систему уравнений максимального правдоподобия:

Решив эту систему, получим оценки оптимальные по критерию максимального правдоподобия. Анализ показывает, что при определенных свойствах случайных процессов на практике обычно имеющих место, это решение является единственным и дает совместно состоятельные, несмещенные и асимптотически эффективные по точечные оценки [13, 15].

Максимально правдоподобная оценка восстанавливаемого сигнала

где асимптотически нормально распределенные случайные величины, как будет показано далее, с нулевыми средними значениями. Погрешность оценки полезного сигнала

можно рассматривать как шум на выходе приемника, а дисперсию как мощность этого шума на частоте Для определения дисперсии выразим через характеристики передаваемого сигнала помехи. Допустим, что действием слабой помехи колебание получит малое приращение, равное этой помехе, т. е.

Тогда координаты полезного сигнала на выходе приемника получат приращения которым соответствует приращение нального сигнала определяемое соотношением

Средний квадрат отклонения между колебанием и сигналом

Дифференцируя (7.39) по А, получаем следующие уравнения максимального правдоподобия

где производная и порождаемые ею составляющие не учитываются как величины второго порядка малости. Учитывая (7.37), (7.38), (7.40) можем записать в виде

Используя основное свойство ортогональных разложений, можно показать, что для всех реально применяемых видов модуляции функции взаимно ортогональны на интервале Поэтому

Выполнив операции усреднения по множеству и по времени, получим

Величину в дальнейшем будем использовать как оценку дисперсии параметров канонического разложения Поэтому мощность шума на выходе детектора на частоте

Следовательно,

так как смежные спектральные составляющие разложения (7.30) сдвинуты по частоте на интервал

Из (7.43) следует, что спектральная плотность шума на выходе детектора

Отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума на выходе оптимального приемника

где — средняя мощность

7.3.3. Оценка потенциальной помехоустойчивости передачи непрерывных сигналов. Для оценки потенциальной помехоустойчивости непрерывных приемников широкое распространение получила такая характеристика, как выигрыш (см. § 5.6)

где отношение сигнал/шум на входе приемника (в канале).

По аналогии с (6.10) ее можно рассматривать как эффективность оптимальной обработки непрерывных сигналов или в более общем применении как эффективность непрерывныхсистем связи. Это обусловлено тем, что, как бы ни выбиралась количественная мера верности передачи информации, она является возрастающей функцией этого отношения. Другое дело, что верность определяется не только одним этим отношением, а и рядом других факторов: шириной спектров сигналов и помех, характером распределений амплитуд и фаз сигналов и помех, способом регистрации сигналов и т. п.

Чтобы учесть различную ширину спектров сигналов и помех, отношение (7.46) нормируют с помощью коэффициента частотной избыточности модуляции равного отношению полосы пропускания входных цепей приемника (ширины спектра модулированного сигнала) к полосе частот полезного сигнала. Тогда обобщенный выигрыш (обобщенная оценка эффективности)

Для удобства сравнения различных модулирующих сигналов их нормируют, чтобы

где максимальное значение и вводят пик-фактор полезного сигнала

Из (7.49) следует, что

а отношение (7.45) принимает вид

Таким образом, применение метода максимального правдоподобия позволяет получить оценки максимального отношения сигнал/шум на выходе оптимального приемника и по максимальному выигрышу 9 (7.46) или по максимальному обобщенному выигрышу (7.47) оценить потенциальную помехоустойчивость различных методов модуляции.

Контрольные вопросы

(см. скан)