2.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ КОТЕЛЬНИКОВА

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов с ограниченными и полосовыми спектрами, так же как и преобразования Фурье для периодических и непериодических сигналов, являются примерами наиболее распространенного применения ортогональных разложений. Рассмотрим основные особенности ортогональных разложений Котельникова.

2.2.1. Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов с ограниченными спектрами имеет важное значение, так как позволяет представлять непрерывные сигналы в виде импульсных последовательностей Теоретической основой разложения служит теорема Котельникова (теорема отсчетов); любая непрерывная функция не содержащая частот выше полностью I определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал доказательством теоремы можно познакомиться в учебниках [1-3]. Общее число отсчетов для сигнала длительностью т. е. равно базе сигнала.

Ортогональное разложение Котельникова для сигнала спектр которого лежит в интервале имеет вид :

где отечет сигнала в момент времени базисная система ортогональных функций с общй нормой интервал дискретизации, равный норме базисных функций. Функции называют функциями отсчетов, а значения отсчетами. График функции отсчетов приведен на рис. 2.1.

Ортогональность функций отсчетов легко проверяется непосредственно путем вычисления интеграла

Интервал дискретизации, как видим, не превышает половины периода наиболее высокой частоты спектра сигнала.

Из равенства Парсеваля (2.7) следует, что энергия непрерывного сигнала С ограниченным спектром определяется через отсчеты:

Еще раз следует подчеркнуть, что в природе нет сигналов, которые имеют одновременно ограниченную длительность и ограниченный спектр. Однако в инженерных расчетах необходимо учитывать ту часть спектра, в которой сосредоточено 80—95% энергии сигнала. Поэтому чаще всего большинство сигналов рассматривают как сигналы с ограниченными спектрами. Если сигнал существует на интервале то число членов ряда (число отсчетов) выбирают равным Например, у телефонного сигнала 95% энергии сосредоточено в полосе частот Гц. Если верхней частотой считать Гц, то частота дискретизации этого сигнала Гц.

Рис. 2.1. График функции отсчетов

Достоинства ортогонального разложения Котельникова (2.13) следующие: базисная система ортогональных функций выбрана так, что ряд (2.13) носит формальный характер, т. е. в любой момент времени отсчета этот ряд дает только одно значение все остальные составляющие ряда вырождаются в нуль; коэффициенты ряда (2.13) нет необходимости вычислять: они определяются непосредственно путем измерения значений сигнала или из его аналитической формы; зная длительность сигнала и граничную частоту легко определить требуемое число отсчетов и энергию сигнала из (2.14); относительная простота аппаратурной реализации как разложения (дискретизации) непрерывного сигнала в импульсную последовательность, так и последующего восстановления.

На последней особенности, имеющей важное практическое значение, целесообразно остановиться более подробно. Для этого рассмотрим физический смысл разложения Котельникова. Каждый член суммы разложения (2.13) представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот (рис. 2.1) с частотой среза на очень короткий импульс, приходящий в момент времени и имеющий площадь, равную Поэтому при дискретной передаче сигнала с ограниченным спектром по каналу связи необходимо через равные интервалы времени брать отсчеты мгновенных значений сигнала к передавать по каналу последовательность достаточно коротких импульсов длительностью амплитуда которых А к в момент времени выбирается так, чтобы

В приемном устройстве выделенная последовательность видеоимпульсов пропускается через фильтр нижних частот, на выходе которого восстанавливается переданный непрерывный сигнал. Длительность импульсов может быть сколь угодно малой, но реально выбирается исходя из полосы прозрачности канала связи. Частота дискретизации (тактовая частота), как уже отмечалось, равна

2.2.2. Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов с полосовыми спектрами. Если сигнал имеет полосовой спектр и ширина полосы спектра то такой непрерывный сигнал можно представить в. виде следующего ортогонального разложения [1-3]

Здесь среднее значение угловой частоты спектра сигнала - отсчеты амплитуды и фазы сигнала в моменты времени Следовательно, для сигналов с полосовыми спектрами необходимо через интервал дискретизации отсчитывать не только мгновенные значения амплитуд, но и мгновенные значения фаз. Так, например, выполняют дискретизацию однополосных сигналов, типичных сигналов с полосовыми спектрами. Если телефонный сигнал рассматривают как сигнал с полосовым спектром, частоту дискретизации выбирают, равной 6200 Гц (см. пример в п. 2.2.1).

Основные особенности ортогонального разложения Котельникова (2.15) следующие: базисная система включает совокупность ортогональных функций отсчетов, каждая из которых представляет модулированное колебание с несущей частотой и огибающей, определяемой функцией типа помимо отсчетов амплитуд, берутся и отсчеты фаз; если длительность сигнала то количество отсчетных точек Ортогональные разложения Котельникова являются теоретической основой большинства методов дискретной передачи непрерывных сигналов. Они позволяют с единых позиций рассматривать передачу как дискретных, так и непрерывных сигналов.

Контрольные вопросы

(см. скан)