3.4. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

Особенности непрерывной амплитудной модуляции (AM) (модуляция класса (см. § 3.1) случайного процесса рассмотрим при следующих предположениях. Модулирующий сигнал является случайным стационарным процессом с математическим ожиданием и дисперсией корреляционная функция этого сигнала Случайный переносчик также является стационарным процессом с корреляционной функцией Процессы независимы. Определим корреляционную функцию и спектральную плотность амплитудно-модулированного случайного сигнала.

Амплитудно-модулированпый сигнал где коэффициент модуляции.

Корреляционную функцию модулированного сигнала получим, применяя операции усреднения по времени и по множеству. Тогда

После выполнения операций усреднения получим

Сравнение (3.6) и показывает, что корреляционная функция амплитудно-модулированного случайного сигнала представляет сумму корреляционной функции переносчика и корреляционной функции балансно-модулированного случайного сигнала. Следовательно, зная характеристики балансно-модулированного случайного сигнала, можно определить корреляционную функцию амплитудно-модулированного случайного сигнала.

Используя соотношение Хинчина — Винера, найдем спектральную плотность амплитудно-модулированного случайного сигнала

Первый интеграл в (3.20) определяет спектральную плотность случайного переносчика, а второй — спектральную плотность балансно-модулированного сигнала. Используя теорему о спектре произведения корреляционных функций, формулу (3.20) можно представить в виде

где через обозначена спектральная плотность полезного сигнала.

Найдем спектральную плотность амплитудно-модулированного сигнала для случая, когда

Второй интеграл в (3.20) можно привести к виду

Воспользуемся формулой для произведения косинусов и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов

где

Рис. 3.1. Графики зависимости при различных значениях

Такие интегралы ранее вычислялись в § 3.2 при определении спектра балансно-модулированного гармонического колебания. Использовав эти результаты, после необходимых преобразований окончательно получим

Аналитический модулированный сигнал, соответствующий рассматриваемому действительному амплитудно-модулированному сигналу, имеет спектральную плотность

На рис. 3.1 показаны графики при различных значениях юэффициента модуляции Можно заметить аналогию между спектром случайного переносчика, амплитудно-модулированного случайным сигналом, и спектром амплитудно-модулированного детерминированного колебания [3]. И в том и в другом случае есть несущая и две боковые полосы частот. Отличие

заключается в том, что спектр амплитудно-модулированного случайного сигнала является непрерывным, роль несущей играет узкополосный случайный переносчик, боковые полосы отстоят от средней частоты этого сигнала на величину средняя частота модулирующего сигнала). Ширина спектра боковых полос определяется шириной спектра переносчика и шириной спектра полезного сигнала.

Следовательно, зная корреляционные функции переносчика и полезного сигнала, а также оператор модуляции, можно определить корреляционную функцию и спектральную плотность случайного амплитудно-модулированного сигнала. Корреляционные и спектральные характеристики модулированных случайных сигналов при частотной и фазовой модуляциях определяют аналогично. Для упрощения аналитических преобразований случайный переносчик обычно представляют в виде узкополосного процесса.

Контрольные вопросы

(см. скан)