2.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Корреляционные и спектральные характеристики случайных процессов детально рассматриваются в статистической радиотехнике. Поэтому здесь целесообразно кратко систематизировать лишь те сведения о характеристиках, которые необходимы для изложения последующих разделов.

Корреляционная функция показывает взаимосвязь (корреляцию) значений случайного процесса в моменты времени

где математическое ожидание процесса в моменты

одномерная и двумерная плотности распределения Если сечения некоррелированны.

Для стационарных случайных процессов а корреляционная функция зависит только от

Часто используют нормированную корреляционную функцию где является дисперсией 2) процесса. Функция обладает следующими свойствами: если

Интегральной характеристикой времени корреляции сечений процесса служит интервал корреляции

Если сечения отстоят друг от друга на расстояние большее для инженерных расчетов их считают некоррелированными.

Операцию определения корреляционных функций с помощью интегралов (2.16), (2.17) называют усреднением по множеству (по ансамблю). Для сокращения записи обозначим ее через Например, (2.17) сокращенно удобно Записывать так:

В экспериментальных исследованиях характеристики случайных процессов Получают чаще всего усреднением по времени. Эту операцию обозначим через Оценка математического ожидания процесса по реализации длительностью

Оценка корреляционной функции

(Звездочка указывает, что оценки являются случайными величинами, которые Зависят от номера выбранной реализации и длительности интервала наблюдения

Стационарные случайные процессы, у которых средние по времени совпадают в предельном смысле со средними по множеству, называют эргодическими, такое свойство процессов эргодичностью. Например, для эргодических процессов для любого с вероятностью единица выполняются условия

Эргодичность процессов имеет важное практическое значение потому, что наблюдение за большим числом реализаций случайного процесса можно заменить наблюдением всего лишь за одной, но достаточно продолжительной реализацией. Полученные таким образом характеристики процесса (математическое ожидание,

дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность и др.) будут с достаточной для инженерных расчетов точностью совпадать с теми, которые получают путем обработки большого числа реализаций.

Корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса раны соотношениями Хинчина — Винера [1—3, 15]:

где спектральная плотность случайного процесса. Эти соотношения являются преобразованиями Фурье для случайных процессов. Особенность их в том, что в интегралах фигурируют не сами процессы, а их корреляционные функции.

Из (2.22) следует, что дисперсия процесса

Интегральной характеристикой спектральной плотности процесса служит ширина спектра

Ширина спектра — это основание прямоугольника с высотой площадь которого равна площади под кривой -максимальное значение

Наряду с корреляционной функцией и спектральной плотностью используют взаимно-корреляционные функции и взаимные спектральные плотности процессов. Взаимно-корреляционная функция двух процессов и

где математические ожидания этих процессов. Взаимная спектральная плотность

Если взаимные характеристики двух процессов, полученные путем усреднения по множеству, совпадают с характеристиками, полученными путем усред нения по времени, то такие процессы называют совместно-эргодическими.

Контрольные вопросы

(см. скан)