ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

В теории информации и передачи сигналов широко используют такие фундаментальные понятия функционального анализа, как преобразование пространств, функция, оператор, функционал, функциональный оператор, линейность и нелинейность преобразования и др. Поэтому необходимо в систематизированном и доступном виде кратко изложить основные сведения об этих понятиях.

Рассмотрим два множества математических объектов (чисел, функций и т. п.) и предположим, что нам известен закон согласно которому любому объекту принадлежащему множеству ставится в соответствие определенный объект

Преобразование можно отразить формулой

Это преобразование будет обладать свойством линейности, если выполняются условия аддитивности

и однородности

где X — любое произвольное число.

Если объекты это числа х и у, то закон это функция

которая устанавливает соответствие между числами х и у.

Свойством линейности обладает линейная функция где известное число.

Если объекты это функции одной и той же переменной, например сигналы и то закон - это оператор, который указывает способ преобразования

Свойством линейности обладает линейный оператор. Примерами линейных операторов служат операторы интегрирования и дифференцирования:

Примерами нелинейных операторов служат операторы логарифмирования и возведения в степень:

Если элемент множества это функция элемент множества это число 2, то преобразование — это функционал

Функциональный оператор — это распространение понятия функционала на более общий случай, когда элементом множества А является функция одной

ременной а элементом множества функция другой переменной Тогда

т. е. функциональный оператор устанавливает взаимное и однозначное соответствие функции одной переменной и функции другой переменной. Примерами функциональных операторов являются преобразования Фурье, Хинчина — Винера (2.22). Функциональный оператор можно рассматривать как одну из форм функционала потому, что при каждом фиксированном у число является функционалом

Укажем характерные примеры аппаратурной реализации основных преобразований. Генератор развертки в осциллографе реализует операцию он создает напряжение, которое является линейной функцией времени. Усилитель реализует выходной сигнал усилителя пропорционален входному сигналу. Интегратор реализует выходной сигнал интегратора пропорционален определенному интегралу от входного сигнала. Анализатор спектра реализует входным сигналом анализатора является напряжение как функция времени, а выходным — спектральная плотность как функция частоты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

(см. скан)